Насколько далеко мы можем распространить формализмы квантовой механики (КМ) на квантовую теорию поля (КТП)? В частности,
Как устроено фоковское пространство отличное от гильбертова пространства ? Может ли общее состояние в фоковском пространстве быть записано как суперпозиция собственных состояний числового оператора? Если да, то являются ли собственные состояния числового оператора единственными базисными состояниями для состояний пространства Фока?
Все ли постулаты квантовой механики выполняются и в КТП? Как интерпретируется норма одного или многих состояний частиц в КТП? Есть ли в состояниях Фока концепция базиса положения или базиса импульса?
Квантовые теории поля являются подмножеством квантово-механических теорий. Таким образом, они подчиняются всем постулатам квантовой механики, имеют гильбертово пространство, линейные эрмитовы операторы, т.е. наблюдаемые, подчиняются принципам суперпозиции, вычисляют вероятности из квадратов абсолютных значений комплексных амплитуд и так далее.
Пространство Фока является частным примером гильбертова пространства — гильбертова пространства для многомерного или бесконечномерного гармонического осциллятора — и оно (вместе с соответствующим свободным гамильтонианом) описывает свободные квантовые теории поля (с квадратичным гамильтонианом/действием , то есть никаких взаимодействий).
Теории взаимодействующих квантовых полей не имеют гильбертова пространства, которое «точно» равно пространству Фока, но пространство Фока по-прежнему является хорошим инструментом для приближенного изучения физики взаимодействующих квантовых теорий поля с помощью «пертурбативных расширений».
Точно так же числовой оператор «действительно точно определен» только для свободных квантовых теорий поля. Значение числового оператора для общего состояния во взаимодействующей квантовой теории поля не совсем точно определено. Например, электрон во взаимодействующей Квантовой Электродинамике "декорирован" множеством фотонов и электронно-позитронных пар, появляющихся рядом с ним. Их число не равно нулю, в некотором смысле бесконечно, и оно даже не определено точно, потому что числовой оператор больше не коммутирует с гамильтонианом во взаимодействующих КТП.
Нет, собственные состояния числового оператора не являются «единственной основой» гильбертова пространства. Вообще говоря, каждое гильбертово пространство (и любое многомерное линейное пространство!) имеет бесконечно много (и это огромная бесконечность) возможных оснований. Например, собственные состояния любых других эрмитовых операторов могут быть превращены в базис.
Базис положения и базис импульса (или представление) являются частными базисами (или представлениями) нерелятивистской квантовой механики. Они состоят из непрерывных собственных состояний операторов и , соответственно. Но это не четко определенные операторы в квантовой теории поля — в конце концов, даже число частиц в КТП является переменным, поэтому не может быть никакого «фиксированного числа положений или импульсов частиц». В квантовых теориях поля есть и другие операторы (наблюдаемые). Существование «базиса импульса» или «базиса положения» является особым свойством класса (нерелятивистских) моделей квантовой механики; это существование не принадлежит к числу общих постулатов квантовой механики, и эти теории (с фиксированным числом частиц с положениями или импульсами) не описывают нашу Вселенную точно.
Qмеханик