Масса покоя и классификация Вигнера

Я считаю (но, пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь), что я понимаю основную философию и большую часть математики, связанной с вигнеровской классификацией частиц через групповые представления. Но мне не хватает одной ключевой части физической интуиции, которую, я надеюсь, кто-нибудь может предоставить.

Вот часть, которую я, кажется, понимаю (не стесняйтесь пропустить этот абзац и следующий, если вы просто хотите перейти к вопросу): Пространство состояний физической системы — это проективизация гильбертова пространства. ЧАС . Элемент группы Пуанкаре перемещает эту систему в новое место в пространстве-времени и каким-то образом меняет ее состояние. Мы считаем, что это не должно влиять на результаты экспериментов, поэтому внутренний продукт двух векторов состояния не должен быть затронут. Таким образом, группа Пуанкаре действует на проективизацию ЧАС таким образом, чтобы сохранить внутренние продукты. Это действие поднимается до действия универсального покрытия группы Пуанкаре на ЧАС сам. Вигнер доказывает (более или менее), что это действие должно быть унитарным. Кроме того, если физическая система представляет собой одну частицу, имеет смысл, что представление должно быть неприводимым. Итак, чтобы классифицировать частицы, мы должны классифицировать неприводимые унитарные представления универсального покрытия группы Пуанкаре.

Я также (в основном) понимаю, как проходит классификация: мы позволяем С л 2 ( С ) действуют на пространстве Минковского и находят представления групп изотропии. Таким образом, каждая частица связана с некоторой орбитой, и орбита характеризуется (более или менее) своим (лоренцевым) расстоянием от начала координат. м . Для каждой такой орбиты мы получаем дискретный набор неприводимых представлений (т.е. частиц), происходящих из представлений группы изотропии репрезентативной точки.

Вот чего я не понимаю: теперь мы идентифицируем (непрерывный) параметр м с массой покоя частицы, а оставшийся дискретный параметр со спином частицы. Мой вопрос:

Почему мы идентифицируем м с массой покоя, а не с каким-либо другим свойством частицы?

Возможно ответ именно такой м кажется, что-то говорит нам о частице, и что масса покоя — единственный естественный кандидат, который приходит на ум. Но я подозреваю, что есть более глубокая причина, и что я ее упускаю.

Можно было бы задать аналогичный вопрос о дискретном параметре и спине, но мне легче думать о массе, и, по крайней мере (в этом контексте), она столь же загадочна для меня, поэтому я хотел бы сначала понять это.

Что такое частицы? Такого в природе не существует. Вы говорите о метастабильных состояниях квантового поля и связанных (почти) законах сохранения?
@CuriousOne: я сочувствую вашей настойчивости в том, что в современной квантовой теории поля нет таких вещей, как частицы, но я верю (и еще раз, пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь), что Вигнер мыслил с точки зрения частиц, а я В настоящее время пытаюсь понять вещи на этом уровне. В конце концов, я уверен, что захочу перенести это понимание в модель, основанную только на полях, но сейчас я думаю, что добьюсь этого быстрее, если смогу понять, о чем думал Вигнер.
То, что думал Вигнер, имеет для природы не больше значения, чем то, что вы или я думаем, поэтому я снова должен спросить вас, где в природе вы видели частицы? Я считал кванты только с помощью своих фотоумножителей и кремниевых ленточных детекторов, частицы там точно не попадались. Продолжайте гоняться за этими частицами, это должно быть весело, когда вы доберетесь до уровня фактических экспериментальных данных и поймете, что их там нет.
Существует принципиальное определение частиц, не зависящее от природы. То, что Вигнер называл частицей, было просто «неприводимым представлением алгебры Пуанкаре». Таким образом, понятие частицы в этом смысле является просто математической конструкцией. Именно в этом смысле @WillO задает свой вопрос. Имеет ли это понятие частицы какое-либо отношение к обычным, встречающимся в природе или КТП, — это совершенно отдельный вопрос.
@WillO - Вот мое определение массы покоя - это энергия частицы, когда она находится в состоянии покоя. Это естественное расширение старой идеи массы, распространенной на СТО. Во всяком случае, с таким определением массы покоя... м является естественным кандидатом на то, чтобы назвать массу покоя. (Правильно ли я понял ваш вопрос? В какой-то степени это философский вопрос. Это просто название. Важно то, что это лоренц-инвариантная величина, и поэтому ее можно использовать для обозначения представлений.)
@Prahar: Мой вопрос именно в том, <i>почему</i> м является естественным кандидатом на то, чтобы назвать массу покоя. Я понимаю, что можно сделать эту часть определения; мне было непонятно, почему это определение более естественно, чем вызов м объем или температура.
@WillO - Потому что это буквально «МАССА ОТДЫХА», то есть масса частицы, когда она находится в состоянии покоя. Как еще мне это назвать? Я не понимаю сути вашего вопроса.
@Prahar: Мое понимание немного улучшилось после ответа Эндрю, который я все еще перевариваю. Но конечно м НЕ является «буквально массой покоя». Это буквально свойство группового представления, а не частицы, а групповые представления буквально не имеют массы покоя. Моя проблема состоит в том, чтобы понять, каким образом свойства представления (например, м ) соответствуют свойствам частицы (например, массе покоя).
@WillO - это свойство представления группы - это собственное значение − п 2 . В остальных кадрах п я "=" 0 и поэтому − п 2 "=" ( п 0 ) 2 . Таким образом, в этом кадре м буквально п 0 . Так что да, то, что я сказал, правда.
@WillO - Если бы ваш вопрос заключался в том, чтобы понять, как м говорит нам о свойствах частицы, то она была весьма некорректна. Формулировка вашей проблемы заставила меня поверить, что вы спрашивали, почему м называется массой покоя, что имеет практически тривиальный ответ. Если ваш вопрос заключается в том, почему масса покоя вообще характеризует частицу, это более сложный вопрос, на который отвечает Эндрю.
@Prahar: мне жаль, что у вас возникли проблемы с ответом на вопрос, но мне все же кажется, что вопрос ясен, как написано: у нас есть номер м это проявляется в чисто математическом контексте, а затем мы интерпретируем его как имеющее физический смысл. Вопрос в том, что это за интуиция, которая их связывает?

Ответы (2)

У нас есть число m, которое проявляется в чисто математическом контексте, а затем мы интерпретируем его как имеющее физический смысл. Вопрос в том, что это за интуиция, которая их связывает?

Интуиция, связывающая их, по существу идентична причине, по которой Вигнер связывает чисто физическое понятие элементарной частицы с чисто математическим понятием неприводимого унитарного представления группы Пуанкаре.

Для любой релятивистской квантовой системы полный 4-импульс представляет собой 4-вектор п компоненты которого являются коммутирующими операторами. В общем собственном состоянии этих операторов п становится числовым вектором, из которого можно вычислить общую массу м по формуле ( м с ) 2 "=" п 2 (в метрике +---). В системе покоя пространственные компоненты исчезают, так что п 2 "=" п 0 2 "=" ( Е / с ) 2 , где Е остальную энергию, отдавая Е "=" м с 2 . Вот почему м называется массой покоя.

Теперь теорема Нётер говорит, что 4-вектор п — инфинитезимальный генератор группы трансляционных симметрий, которая является подгруппой группы Пуанкаре. Поэтому группа Пуанкаре действует в некотором унитарном представлении, и п представляет образ генератора группы трансляции в этом представлении.

Для элементарной системы (обычно называемой элементарной частицей) предъявляется дополнительное требование отсутствия инвариантной по Пуанкаре подсистемы, что приводит к неприводимости представления. С п 2 является оператором Казимира, он имеет в любом неприводимом представлении постоянное числовое значение М 2 . Если это неприводимое представление является представлением элементарной системы, то мы имеем поэтому М 2 "=" ( м с ) ^2, что дает М "=" м с . Теперь в настоящем контексте единицы обычно выбираются так, чтобы скорость света принимала значение 1.

Поэтому мы находим, что число М возникающее в чисто математическом контексте, имеет физическую интерпретацию массы покоя всякий раз, когда это представление принадлежит представлению частицы.

Тот же тип рассуждений применяется в более общем виде — всякий раз, когда математическое понятие получает физическое обозначение.

Это именно то, что я искал, и на самом деле я понял это задолго до того, как опубликовал вопрос (но задолго до того, как вы опубликовали этот ответ). Здорово, что мое предварительное понимание подтвердилось. Большое спасибо.

Обычно первым шагом в получении повторений Пуанкэра является переход к системе покоя частицы. Это равносильно выбору базы, где п 0 действующее на состояние, отлично от нуля, и где собственное значение a функции п я равны нулю. Мы можем сделать это, если импульс подобен времени, то есть если собственное значение п мю п мю отрицательно (в сигнатуре -+++). Кроме того, знак собственного значения п 0 имеет значение, мы сосредоточимся на положительном случае. (Обратите внимание, что несокращаемые повторения классифицируются, но значение п мю п мю , а также оператор Паули Любанского, потому что это операторы казимира (коммутируют со всеми образующими группы Пуанкэра) — эти операторы будут иметь одно и то же собственное значение, действующее на любое состояние в неприводимом представлении).

Короче говоря, мы выбрали базис/систему отсчета, где энергия P^0 положительна, а импульс P^i равен нулю. Энергия в системе покоя есть масса.

Также обратите внимание, что п мю п мю "=" − м 2 (собственное значение оператора п 2 в этом иррепе) является состоянием оболочки для массивной частицы.

Спасибо за этот ответ. Я все еще пытаюсь это переварить. Моя первая проблема заключается в том, что я не уверен, что п мю являются. Я предполагаю, что п мю определяется чем-то вроде р ( г мю ) "=" е я п мю где р является заданным групповым представлением и г мю — групповой элемент, представляющий перевод пространства-времени в мю направление. Имею ли я это право?
Да точно правильно. Хотя я бы написал это больше как $G(x^\mu) =e^{i P_\mu x^\mu) . Т час е Икс а р е т час е п а р а м е т е р с о ф т час е т р а н с ф о р м а т я о н ( е д ты я в а л е н т л у т час е с о о р г я н а т е с о н т час е л я е г р о ты п м а н я ф о л г ) , т час е п мю а р е а п а р т я с ты л а р р е п р е с е н т а т я о н ф о р т час е л я е а л г е б р а е л е м е н т с / г р о ты п г е н е р а т о р с , а н г г я с а г р о ты п е л е м е н т я н т час а т р е п р е с е н т а т я о н . Т час е а н а л о г т о н о р м а л д ты а н т ты м м е с час а н я с с я с , ф о р е Икс а м п л е , т я м е т р а н с л а т я о н с а р е г я в е н б у ( ф о р а т я м е я н г е п е н г е н т час а м я л т о н я а н ЧАС ) U (т) = е ^ {IH т} , о р с п а с е т р а н с л а т я о н с а р е г я в е н б у G(x) =e^{iPx}$, где P — оператор импульса.
Эндрю: Спасибо. Теперь это позволяет мне добраться до сути моего замешательства. Самосопряженные операторы п мю действовать на некотором гильбертовом пространстве ЧАС , что связано с нашим произвольным групповым представлением. Энергия и импульс являются самосопряженными операторами (назовем их Вопрос мю ), действующий на некотором гильбертовом пространстве ЧАС ′ которое является пространством состояний нашей частицы. Есть, как вы говорите, некоторая аналогия между п мю и Вопрос мю . Но почему мы отождествляем п мю с Вопрос мю ? [ПРОДОЛЖЕНИЕ...]
[ПРОДОЛЖЕНИЕ] В конце концов, есть аналогия между п мю и наблюдаемые, которые представляют местоположение (то есть оба преобразуются одинаково в группе Лоренца). Так почему же мы отождествляем их с энергией/импульсом, а не, скажем, со временем/местоположением или какими-то другими наблюдаемыми?
PS --- Я уверен, что все, чего я не понимаю, является чем-то совершенно базовым и совершенно очевидным для всех, кроме меня. Я вполне уверен, что понимаю сложные моменты, но есть одна простая вещь, которую я упускаю из виду.
Это отличный вопрос. Кстати, Фейнман говорит об этом в третьем томе своих лекций в контексте углового момента, почему мы называем генераторы вращений «угловым моментом», а не «квантовым импульсом», так что, возможно, стоит также изучить его точку зрения. В основном причина в том, что в классическом пределе P_\mu ведут себя как энергия и импульс. Это наиболее прямо видно в гамильтоновой структуре, в классической механике симметрия связана с сохраняющейся величиной C (продолжение)
которая является функцией переменных фазового пространства, которая генерирует бесконечно малые преобразования симметрии через скобки Пуассона, например дельта д "=" С , д , и в этом пределе коммутаторы становятся скобками Пуассона. Интуитивно, возможно, имеет смысл, что в качестве сохраняющихся величин, связанных с трансляциями, энергия и импульс будут проявляться в этом контексте. Вы также можете работать с конкретными примерами, например, изучить поведение свободного поля \phi при переводе, и вы в конечном итоге найдете \delta \phi = [P_\mu, \phi], это упражнение в начале Среницкого. например.
О, нет, совсем нет, это очень фундаментальная вещь, которую вы пытаетесь решить с этим imo, которому трудно найти хорошее объяснение (я не уверен, что отлично справлюсь), мне пришлось собрать свое понимание из нескольких разных источников (Zee , Weinberg, Srednicki, некоторые онлайн-заметки и т. д.).
Спасибо, Эндрю. Мне есть над чем задуматься в ваших последних комментариях. Я уверен, что это займет меня какое-то время.
Вот ссылка, которая проходит через классическую механическую версию этих утверждений damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/four.pdf , особенно раздел 4.4.2, но, честно говоря, все это хорошо. Отрывок Фейнмана, который я имел в виду, находится в разделе 34-7 тома 2. Главы 17 и 20 тома 3 также относятся к делу. Лекции Фейнмана доступны бесплатно на сайте feynmanlectures.caltech.edu .
Я только что принял ответ Арнольда Ноймайера, который подтвердил мое предварительное понимание, но я как-то забыл, что этот ответ в первую очередь помог мне достичь этого понимания. Хотел бы я принять оба. Спасибо.
MJ-fix: - Написал Андрей: "Да точно. Хотя, я бы написал скорее как г ( Икс мю ) "=" е я п мю Икс мю . Икс — параметры преобразования (эквивалентно координатам на групповом многообразии Ли), п мю являются конкретным представлением элементов алгебры Ли/групповых генераторов, а G является групповым элементом в этом представлении. Аналогом нормальной квантовой механики является, например, перевод времени (для независимого от времени гамильтониана H) U ( т ) "=" е я ЧАС т , или космические переводы даются г ( Икс ) "=" е я п Икс , где P — оператор импульса.».
Масса покоя и классификация Вигнера
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v