Плотность и размерность нулей в обратных квадратах силовых полей случайно распределенных источников в (по крайней мере) 1, 2 и 3 измерениях?

Это почти полный ответ. В настоящее время есть один небольшой пробел в отношении невырожденности, но я относительно уверен, что это можно исправить:

tl;dr Если есть$n$массы, то вообще будет не менее$n-1$нули (в 1д точно$n-1$нулей) поля, все они изолированы, внутри выпуклой оболочки этих масс и ни одна из них не является стабильной.

Внутри выпуклой оболочки: это легко доказать независимо от размерности. Предположим, что есть гиперплоскость со всеми массами на одной стороне и вами на другой. Тогда сила от каждой массы имеет составляющую, притягивающую вас к этой плоскости, поэтому общая сила будет действовать точно так же и не может быть равна нулю. Такая плоскость существует именно для точек, не входящих в выпуклую оболочку.

В остальном следует думать о нулях как о критических точках потенциала, которые я буду называть$\Phi$. Затем, если предположить, что они не вырождены (а они обычно таковыми не являются), так называемая теория Морса говорит нам об их количестве. Также обратите внимание, что вы можете преобразовать все массы в конечные минимумы, не создавая дополнительных критических точек, поскольку вблизи любой заданной массы$1/r$-потенциал доминирует над всеми остальными вкладами, поэтому на этом уровне его можно заменить конечной потенциальной ямой с одним минимумом.

1 измерение: в этом случае можно обойтись, не прибегая к более продвинутым инструментам, и это несколько иллюстрирует идею: сначала обратите внимание, что$\frac{d^2}{dx^2}\frac{-1}{|x|} < 0$для$x \neq 0$, так$\frac{d^2}{dx^2} \Phi < 0$и, таким образом, каждая критическая точка является максимальной. Теперь легко увидеть, что на реальной линии минимумы и максимумы должны чередоваться. Итак, между$n$минимумы, вытекающие из масс, точно$n-1$максимумы, которые являются критическими точками.

2 измерения: Предположим на данный момент, что все критические точки невырождены, что означает, что гессиан$D^2 \Phi$имеет только ненулевые собственные значения. Отсюда автоматически получается, что эти критические точки изолированы (применим теорему об обратной функции к$D \Phi$), что по аргументу компактности также означает, что их конечное число.

Затем нам, наконец, понадобится теория Морса : индекс невырожденной критической точки определяется как число отрицательных собственных значений$D^2\Phi$. Грубо говоря, это количество независимых направлений, по которым$\Phi$максимально. Итак, минимум имеет индекс$0$, максимум имеет индекс, равный размерности пространства, а все седловые точки имеют индекс где-то посередине. Теперь обозначим через$C_\gamma$количество критических точек индекса$\gamma$.

Детали немного сложны, но теперь фундаментальная теорема теории Морса говорит нам, что$\sum_{\gamma} (-1)^\gamma C_\gamma = \xi(M)$, где$\xi(M)$является эйлеровой характеристикой$M$. В нашем случае$M= \mathbb{R}^d$который имеет характеристику$1$. Предполагая также, что единственные минимумы приходятся на массы, мы получаем

3 измерения: прежде чем мы начнем с теории Морса, давайте решим некоторые дифференциальные уравнения в частных производных. В 3 измерениях$\frac{1}{|r|}$решает уравнение Лапласа, поэтому, другими словами, мы имеем$\Delta \Phi = 0$вдали от масс. Тогда принцип максимума для уравнения Лапласа говорит нам, что$\Phi$либо постоянна (что не так), либо не имеет локальных максимумов или минимумов (массы не учитываются, поскольку уравнение больше не выполняется). Итак, если все критические точки невырождены, мы получаем

Наконец, нам нужно очистить некоторые предположения:

3d Критические точки невырождены: я достаточно уверен, что это верно, по какому-то PDE-аргументу, который я упускаю, но технически это пробел.

2d Критические точки невырожденные: Embed$\mathbb{R}^2$как самолет в$\mathbb{R}^3$и положить все массы на эту плоскость. Тогда по симметрии нормальная производная к этой плоскости$\partial_n \Phi$равен нулю, поэтому критические точки в 2d соответствуют точкам в 3d, и, аналогично, направление нормали является собственным вектором. Тогда другие собственные векторы находятся в плоскости, поэтому собственные значения тех, что в 3d, соответствуют собственным значениям в 2d, поэтому, если критическая точка 3d невырождена, критическая точка 2d также.

Дополнительных 2d-минимумов нет: по тому же аргументу вложения и обсуждению выпуклой оболочки вверху критические точки минимальны в нормальном направлении к плоскости. Поэтому, если бы они были минимальными на плоскости, они были бы локальными минимумами в 3d, что противоречит принципу максимума.