Сила через квантовую механику

Это по-прежнему верно в квантовой механике — это «уравнение движения Гейзенберга», — но обе стороны являются операторами. Однако, поскольку мы часто хотим найти спектр гамильтониана в квантовой механике — набор возможностей — и свойства собственных состояний энергии, важность силы уменьшается. Сила может быть записана как$i[H,p]/\hbar$, так что это коммутатор импульса с гамильтонианом, но нам часто нужно изучать весь гамильтониан, а не только его коммутаторы с другими операторами. Поэтому потенциальная энергия$V$появляется гораздо чаще в квантово-механических расчетах, чем сила, хотя последняя может быть записана как$-V'(x)$если потенциал известен. Обратите внимание, что$-V'(x)$является результатом расчета коммутатора$i[H,p]/\hbar$для гамильтонианов$H=p^2/2m+V(x)$.

Просто чтобы добавить к превосходному ответу Любоша: если вы не видели такого рода вещи раньше, может быть полезно думать с точки зрения ожидаемых значений, то есть среднего значения возможных результатов измерения, а не всего спектра. возможностей. В этих терминах второй закон Ньютона (в одном измерении) становится

Если вам интересно узнать больше об этом, ключевое слово в Google — теорема Эренфеста .

Квантовым аналогом является уравнение Гейзенберга, где жирным шрифтом обозначены матрицы (Гейзенберг и его сотрудники разработали матричную формулировку квантовой механики).

Раскол$p=\hbar k$где$k$волновой вектор (или волновой вектор) также действителен в релятивистской квантовой теории. Волновые векторы$k$также используются в классической механике, но определение отличается и не использует$\hbar$конечно [*].

С$\hbar$является универсальной константой, смысл$\frac {\mathrm{d}k}{\mathrm{d}t}$можно получить непосредственно из$\frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$. Первое — это изменение импульса в единицах или «пакетах»$\hbar$

[*] Волновой вектор в классической механике вводится с помощью преобразований Фурье.