Позволять быть ограниченной группой Лоренца в размеры. Существуют ли проективные неприводимые представления этой группы, не происходящие от представления ?
Другими словами, известно, что любое представление алгебры Клиффорда индуцирует представление соответствующей группа; верно ли обратное, т. е. любое ли представление соответствуют некоторому представлению соответствующей алгебры Клиффорда?
Любой набор матриц удовлетворяющий
Мой вопрос: правда ли, что для любого набора матриц удовлетворяющий у нас будет набор матриц удовлетворяющий ?
Примечание: при рассмотрении проективных представлений этой группы возможны только две фазы, . Излишне говорить, что здесь я спрашиваю о тех, которые соответствуют . Для другого знака ответ очевиден.
Этот ответ основан на основополагающей статье Берга, ДеВитта-Моретта, Гво и Крамера (BDGK) о физике двойных накрытий групп Лоренца.
Хотя в статье рассматривается общий случай множественных измерений пространства и времени; в следующем ответе только дело будет рассмотрено. Кроме того, будут рассматриваться только конечномерные (неунитарные) спинорные представления, поскольку мы знаем, как превратить их в бесконечномерные унитарные представления группы Пуанкаре.
Во-первых, физически интересные группы — это двойные покрытия скорее, чем потому что они содержат отдельные операторы четности и обращения времени, а не только их произведение (БДГК: рис. 1, стр. 17 и рис. 2, стр. 19).
Двойные обложки называются группами Pin (их репрезентативные векторы называются Pinors). обладает 8 типами двойных покрытий, называемых ( соответствует (БДГК-приложение С):
Только два из указанных выше двойных покрытий могут быть получены из алгебры Клиффорда, которой они соответствуют: и соответственно. Эти группы называются клиффордскими и обычно обозначаются: и соответственно.
Примечания:
Я не знаю о каком-либо физическом применении не-Клиффордовских ПИН-групп.
В принципе, мы не знаем Пин-группы элементарных частиц, за исключением нейтрино в безнейтринном двойном бета-распаде. БДГК предлагает некоторые эксперименты, которые могут определить тип группы Pin.
Любое неприводимое комплексное представление алгебры Клиффорда в Размеры имеют размерность . Доказательство этого утверждения можно найти, например, в этом посте Qmechanic .
Как уже сказано в вопросе, любое представление алгебры Клиффорда индуцирует представление соответствующей ей алгебры Лоренца.
Итак, возьмем произвольное неприводимое представление алгебры Лоренца в четырех измерениях, обозначенное размера . Есть три случая:
: Это касается только одного а другой равен нулю. -представления являются спинорами Вейля и являются подпредставлениями одиночных неприводимых представлений алгебры Клиффорда в четырех измерениях, спиноров Дирака. -представления представляют собой (анти-)самодуальные 2-формы и не происходят от алгебры Клиффорда, однако они также имеют «фазу " как проективное представление, так что это попадает в случай, когда вопрос считает ответ "очевидным". 1
: Единственный четырехмерный ирреп группы Лоренца , обычные 4-векторы, которые не несут представления алгебры Клиффорда.
: никакое представление алгебры Лоренца размерности больше 4 не может быть совместимо с представлением алгебры Клиффорда точками 1 и 2 выше: если бы существовало совместимое представление алгебры Клиффорда, оно должно было бы быть приводимым точкой 1, т.е. иметь собственное подпредставление. Но согласно пункту 2 это также индуцировало бы правильное подпредставление алгебры Лоренца, а это означало бы, что иррепрезентация не была неприводимой, что приводит к противоречию.
Поэтому, в частности, любое представление алгебры Лоренца с и нецелое - это проективное представление, которое не происходит из представления алгебры Клиффорда.
1 Линейное представление алгебры Лоренца интегрируется в линейное (а не просто проективное) представление собственной ортохронной группы Лоренца тогда и только тогда, когда является целым числом.
DanielC
СлучайныйПреобразование Фурье
DanielC