Что такое квантовые поля с математической точки зрения?

Определение квантового поля немного зависит от формализма, который вы принимаете, но глобально квантовые поля определяются как операторнозначные распределения. То есть, если у вас есть квантовое поле$\Phi$, определяется как

Он отображает гладкие функции с компактным носителем на пространственно-временном многообразии в линейные операторы в гильбертовом пространстве, где определена ваша квантовая теория. Некоторым злоупотреблением обозначениями мы иногда пишем это как$\Phi(x)$, хотя это правильно определено только в том случае, если распределение само по себе является гладкой функцией.

С этим связаны некоторые трудности (поскольку распределения нельзя легко перемножить, а КТП включает множество произведений полей), а это означает, что нужно использовать такие методы, как наборы волновых фронтов и перенормировки, чтобы понять все.

Ответы, предполагающие, что ответ на вопрос «Что такое квантовое поле?» неясно или даже открыто, являются неправильными.

Впечатление, что это может быть неясно, возникает из-за того, что стандартные учебники придерживаются эвристики, которая помогла Томонаге-Швингеру-Фейнману-Дайсону угадать теорию много десятилетий назад, но математическая природа реалистической квантовой теории поля была полностью понята к середине 70-х годов. и получил дальнейшее развитие с тех пор. Обзор состояния техники находится на

• PhysicsFormums-Insights -- Введение в пертурбативную квантовую теорию поля

Прежде всего стоит осознать, что есть разница между конфигурацией поля и наблюдаемой на пространстве всех конфигураций поля.

Само поле, будь то в классической физике или в ее квантовании, является просто функцией пространства-времени, приписывающей каждой точке пространства-времени «значение» этого поля в этой точке. Или, в более общем смысле, это часть расслоения в пространстве-времени, называемого расслоением поля. Например, если расслоение поля является спинорным, то поле является спинорным, если это расслоение дифференциальной формы, то поле является калибровочным потенциалом, как в электромагнетизме, и т. д.

Теперь из лагранжевой плотности получаются две вещи: уравнения движения, а также предсимплектическая форма на пространстве всех тех полевых историй, которые решают уравнения движения. Это называется ковариантным фазовым пространством теории.

Наблюдаемая — это функция на этом ковариантном фазовом пространстве. Он отправляет любую историю поля на число, «значение наблюдаемого в этой истории поля». Но так как ковариантное фазовое пространство само является пространством функций (точнее, сечений), то функция на нем есть функционал .

Среди них есть «функционалы точечной оценки», т. е. наблюдаемые, значение которых в истории поля является значением этого поля в данной точке. Дело в распределениях просто в том, что на этих точечных оценочных функционалах скобка Пайерлса-Пуассона не определена (определено только ее интегральное ядро, что вы и видите в учебниках). Таким образом, ограничиваются теми наблюдаемыми, которые являются функционалами на пространстве историй поля, на которых скобка Пуассона фактически закрывается. Это размытия точечных оценочных функционалов пространственно-временными функциями с компактным носителем. Таким образом, функционал оценки точки становится картой, которая после указания функции размытия дает наблюдаемую. Таким образом, уже классическими наблюдаемыми полями оценки точек являются распределения:

Теперь все, что происходит при квантовании, это то, что алгебра поточечного произведения функционалов на ковариантном фазовом пространстве деформируется в некоммутативную алгебру. Традиционно требуется представить эту алгебру внутри алгебры операторов в гильбертовом пространстве, но по большей части это отвлекающий маневр. Что имеет значение, так это некоммутативная алгебра квантовых наблюдаемых. Для вычисления предсказаний теории, ее амплитуд рассеяния на самом деле нет необходимости представлять это с помощью операторной алгебры.

В любом случае, хотите ли вы представлять некоммутативную алгебру квантовых наблюдаемых с помощью операторов или нет, в любом случае результат теперь таков, что функционал оценки точки — это нечто, что читается в функции размытия, а затем производит соответствующую наблюдаемую, представленную теперь как элемент некоммутативной алгебры. Таким образом, квантовые наблюдаемые на полях являются распределениями со значениями элементов алгебры (например, со значениями элементов операторной алгебры).

И, да, для свободных полей это дает знакомые операторы создания и уничтожения, подробнее о том, как это работает, см.

• на nLab на алгебре Вика .

Подробное изложение этих вопросов есть на

• геометрия физики -- первая идея квантовой теории поля

Сейчас это дописано до классической повести. Чтобы узнать о квантовой теории, зайдите на сайт еще раз через два месяца.

Пока нет математически обоснованной формулировки реалистичной КТП, поэтому на данный момент у нас нет реального ответа на ваш вопрос. КТП, которую физики используют для предсказаний, находится в так называемой лагранжевой формулировке, которая представляет собой эвристическую основу для получения пертурбативных разложений с использованием диаграмм Фейнмана. Существует также алгебраическая или аксиоматическая КТП , математически четко определенная, но пока ограниченная бесплатными теориями и игрушечными моделями. Идея состоит в том, что КТП должна удовлетворять ряду аксиом , чаще всего используемых аксиом Вайтмана , и задача состоит в том, чтобы построить реалистичные теории, которые им удовлетворяют. Математическое построение теории Янга-Миллса с массовой щелью — одна из задач тысячелетия.

В алгебраической КТП поля отождествляются с операторнозначными распределениями, а картина пространства Фока является их двойственным представлением. Эта двойственность подобна картинам Шредингера и Гейзенберга в квантовой механике. Идея состоит в том, что гильбертово пространство квантовых полей как распределений, связанных с локализованными областями пространства-времени, унитарно эквивалентно пространству Фока, где определены операторы рождения и уничтожения, и которое гораздо чаще используется на практике. Это пространство Фока вторичного квантования, поэтому эти операторы не совпадают с полевыми операторами, которые являются квантованными версиями классических полей (интуитивно операторы пространства Фока являются «глобальными», тогда как полевые операторы «локализованы»):

К счастью, операторы в гильбертовом пространстве КТП включают набор полевых операторов. Если конкретному волновому уравнению удовлетворяет классическое поле$\phi(x)$, ему также будет удовлетворять в форме операторного уравнения набор операторов$\widehat{\phi}(x)$на пространстве состояний квантованной версии теории поля. Говоря несколько неточно,$\widehat{\phi}(x)$действует как поле операторов, присваивая каждой точке x оператор со значением ожидания$(\psi,\widehat{\phi}(x)\psi)$. По мере динамического развития состояния эти ожидаемые значения будут развиваться подобно значениям классического поля. Множество полевых операторов иногда называют операторнозначным квантовым полем . Одно предостережение, которое будет важно позже: строго говоря, мы не можем построить нетривиальное поле операторов$\widehat{\phi}(x)$определяется в точках. Но можно определить «размазанное» квантовое поле с помощью свертки с пробными функциями.

[...] Нам нужна интерпретация теоретико-полевых состояний, чтобы определить, какие физически случайные факты они представляют. В одночастичной КМ состояние представляет собой суперпозицию состояний с определенными значениями наблюдаемых в теории (например, положения и импульса)... в теориях поля нас интересуют системы, которые принимают значения для некоторого поля.$\phi(x)$и его сопряженный импульс$\pi(x)$. Таким образом, при квантовании теории поля мы должны делать с полем то же самое, что мы делали с механической системой, чтобы создать КМ. Наложить коммутационные соотношения на$\phi(x)$а также$\pi(x)$, и переместим наши состояния в гильбертово пространство волновых функционалов ($\Psi(\phi)$), которые описывают суперпозиции различных классических конфигураций поля.

Эквивалентность картине пространства Фока может быть доказана для свободной КТП, но аксиоматическая КТП испытывает трудности с включением взаимодействий или определением операторов положения. Из-за этого некоторые утверждают, что ни квантовое поле, ни интерпретация пространства/частиц Фока не могут выжить в математически зрелой КТП, см., например , работу Бейкера против полевых интерпретаций квантовой теории поля , из которой взята приведенная выше цитата.

У Уоллеса есть хороший обзор В защиту наивности: Концептуальный статус лагранжевой КТП , в котором анализируется математическая структура КТП в том виде, в каком она применяется на практике, и утверждается обратное, что ее можно рассматривать как действительное приближение к тому, что может когда-нибудь дать алгебраическая КТП. . Если это так, то операторнозначные распределения и состояния пространства Фока, интерпретируемые как состояния частиц, будут эффективными реализациями того, чем «являются» квантовые поля на низких энергетических уровнях:

« Мы утверждали, что такие КТП могут быть превращены в совершенно четко определенные квантовые теории при условии, что мы абсолютно серьезно относимся к обрезанию высоких энергий; что многочисленные способы сделать это не противоречат друг другу при условии, что мы понимаем их как приближения к структуре какую-то более глубокую, пока неизвестную теорию, что существование неэквивалентных представлений не является проблемой, что для таких теорий может быть определено понятие локализации, достаточное для анализа по крайней мере некоторых практических проблем, с которыми мы сталкиваемся, и что неточность, присущая этой концепции, не является уникальной для релятивистской квантовой механики и никоим образом не является проблематичной.