Добавление полной производной по времени к лагранжиану

Question

Добавление полной производной по времени к лагранжиану

cykskmy

введите описание изображения здесь

Это доказательство того, что $L'$ представляет то же уравнение движения с $L$ через уравнение Лагранжа. Я понимаю $L'$ удовлетворяет уравнению Лагранжа, но как это доказательство означает $L'$ и $L$ описать одно и то же движение частицы? Другими словами, почему член общей производной по времени, который добавляется к $L$ нет разницы в уравнении движения?

Qмеханик

Геометрическая/интуитивная причина, по которой это так, объясняется, например, в этом посте Phys.SE (в более общих рамках теории поля).

пользователь3728501

Ваши алгебраические шаги местами сбивают с толку. Кроме того, вы не указали, что предполагаете, что F не является явной функцией производной координат по времени, что требуется для шага после «Это показано как верное, потому что»

Ответы (5)

Добавление полной производной по времени к лагранжиану

Геометрическая/интуитивная причина, по которой это так, объясняется, например, в этом посте Phys.SE (в более общих рамках теории поля).
Ваши алгебраические шаги местами сбивают с толку. Кроме того, вы не указали, что предполагаете, что F не является явной функцией производной координат по времени, что требуется для шага после «Это показано как верное, потому что»

Райан Унгер · Answer 1

Вы видели, что замена

л ⟶ л^{'} "=" л + \frac{д Ф}{д т}

$L\longrightarrow L':= L+\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}$ не меняет уравнений Эйлера-Лагранжа. Это происходит потому, что производная по времени тождественно удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа.

Рассмотрим конкретный пример. Возьмем лагранжиан простого гармонического осциллятора:

л_{ХО} "=" \frac{1}{2} м {\dot{д}}^{2} - \frac{1}{2} м ю^{2} д^{2}

$L_\text{HO}=\frac{1}{2}m\dot q^2-\frac{1}{2}m\omega^2q^2$ что дает уравнения Эйлера-Лагранжа

\ddot{д} "=" - ю^{2} д

$\ddot q=-\omega^2 q$ Теперь рассмотрим модифицированный лагранжиан

л^{'} "=" \frac{1}{2} м {\dot{д}}^{2} - \frac{1}{2} м ю^{2} д^{2} + \dot{д} "=" л_{ХО} + \dot{д}

$L'=\frac{1}{2}m\dot q^2-\frac{1}{2}m\omega^2q^2+\dot q=L_\text{HO}+\dot q$ Уравнения Эйлера-Лагранжа, очевидно, линейны. Таким образом

ЭЛЬ [л^{'}] "=" ЭЛЬ [л_{ХО}] + ЭЛЬ [\dot{д}]

$\text{EL}[L']=\text{EL}[L_\text{HO}]+\text{EL}[\dot q]$ Как было показано выше,

\dot{q}

$\dot q$ уравнение Эйлера-Лагранжа исчезнет, но мы можем это проверить:

ЭЛЬ [\dot{д}] "=" \frac{д}{д т} \frac{\partial \dot{д}}{\partial \dot{д}} - \frac{\partial \dot{д}}{\partial д} "=" \frac{д 1}{д т} - 0 "=" 0

$\text{EL}[\dot q]:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \dot q}{\partial\dot q}-\frac{\partial\dot q}{\partial q}=\frac{\mathrm{d}1}{\mathrm{d}t}-0=0$ Таким образом,

ЭЛЬ [л^{'}] "=" ЭЛЬ [л_{ХО}]

$\text{EL}[L']=\text{EL}[L_\text{HO}]$ т.е. модифицированный лагранжиан по-прежнему подразумевает

\ddot{q} = - ω^{2} q

$\ddot q=-\omega^2q$ .

Тревор Кафка · Answer 2

Вот еще один способ подумать об этом, используя версию уравнений Эйлера-Лагранжа с вариационным принципом.

Действие $L$ и $L'$ отличаются $\dot F$ .

С "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т л

$\mathcal S = \int^{t_f}_{t_i} dt\ L$

С^{'} "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т л^{'} "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т (л + \dot{Ф}) "=" С + Ф (т_{ф}) - Ф (т_{я})

$\mathcal S' = \int^{t_f}_{t_i} dt\ L' = \int^{t_f}_{t_i} dt\ (L+\dot F) = \mathcal S + F(t_f)-F(t_i)$

С $F(t_f)-F(t_i)$ является константой, пути, которые экстремальны $\mathcal S$ и $\mathcal S'$ одинаковы.

Куламбо · Answer 3

Ну ты только что показал ${d \over dt } { \partial L' \over \partial \dot q}- { \partial L' \over \partial q}= {d \over dt } { \partial L \over \partial \dot q}- { \partial L \over \partial q}=0$ верно? ${d \over dt } { \partial L \over \partial \dot q}- { \partial L \over \partial q}=0$ уравнение движения для $q$ , другими словами, это уравнение означает именно то, что: $L$ и $L'$ приведите такое же уравнение движения для q.

Кристофер · Answer 4

Если вы будете следовать некоторым шагам вывода, вы можете задаться вопросом, в чем важность производной по времени от $F$ имеет значение. Одно из уравнений, представленных в вопросе, то, под которым говорится, что «показано, что оно верно, потому что», является ключевым. Это уравнение говорит:

$\frac{\partial \dot{F}}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial F}{\partial q}$ .

Это уравнение говорит, хотя и не очевидно, что последние два члена в четвертом уравнении в вопросе, особенно это уравнение:

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}+\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \frac{d F}{d t}-\frac{\partial}{\partial q} \frac{d F}{d t}=0$ .

на самом деле равны и, следовательно, сокращаются. Итак, вы остались с

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q} = 0$

Отсюда вы можете получить уравнения движения, как если бы вы $L'$ . Так $L'$ и $L$ дают те же уравнения движения.

Но чтобы понять, почему производная по времени от $F$ важно, и не только $F$ , давайте начнем с третьего члена, который $\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \frac{d F}{d t}$ и напишите как $\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \frac{d}{dt}{q}} \frac{\frac{d}{dt} F}{1}$ . Теперь вы можете видеть, что мы берем часть скорости изменения $F$ относительно скорости изменения $q$ . Также не указано в вопросе, требуется, чтобы $F$ является функцией $t$ и $q$ . То есть $F=F(q,t)$

Таким образом, мы можем сбросить часть скорости изменения и просто оставить производную от $F$ относительно $q$ и получить $\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial {q}} F$ , который $\frac{\partial}{\partial {q}} \frac{d F}{d t}$ что совпадает с четвертым членом, и поэтому они сокращают друг друга.

Без $d/dt$ перед $F$ это не сработало бы. Таким образом, добавляя к лагранжиану полную производную по времени от функции $q$ и $t$ не меняет уравнений движения

МУСАИБ УЛЬ ФАЯЗ · Answer 5

Это можно легко рассчитать, как видно на прикрепленном изображении.

введите описание изображения здесь

Добавление полной производной по времени к лагранжиану

cykskmy

Qмеханик

пользователь3728501

Ответы (5)

Райан Унгер

Тревор Кафка

Куламбо

Кристофер

МУСАИБ УЛЬ ФАЯЗ

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Лагранжиан в неинерциальной системе отсчета

Применение уравнений Эйлера-Лагранжа (Тривиальная задача, поучительная)

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Как я могу сказать, что круговое движение является решением для частицы, ограниченной поверхностью конуса?