Что означают производные в этих уравнениях Гамильтона?

Question

Что означают производные в этих уравнениях Гамильтона?

Джек М

У меня есть гамильтониан:

ЧАС "=" \dot{д} п - л "=" \frac{1}{2} м {\dot{д}}^{2} + к д^{2} \frac{1}{2} - а д

$H=\dot qp - L = \frac 1 2 m\dot q^2+kq^2\frac 1 2 - aq$

В системе с одной координатой $q$ (где $L$ является лагранжианом). Одно из уравнений Гамильтона:

\dot{д} "=" - \frac{\partial ЧАС}{\partial п}

$\dot q =-\frac {\partial H} {\partial p}$

Но когда я пытаюсь вывести $H$ в отношении $p$ , я очень запутался. Что является производной от $q$ в отношении $p=m\dot q$ , например? Когда я сформулирую это прямо, мое замешательство проистекает из того факта, что я понимаю, что не знаю, что означает эта частная производная. Частная производная функции с несколькими переменными должна быть взята по индексу (вы просто указываете, какую переменную, рассматриваемую как «слот» в функции, вы получаете относительно). Я полагаю, я не понимаю, какая функция с несколькими переменными $H$ представляет (я имею в виду, $q$ и $\dot q$ являются функциями $t$ , так что вы могли бы сказать, что это функция с одной переменной...), или как я должен интерпретировать $p$ как переменная.

У меня аналогичные трудности с уравнением $\dot p=\frac {\partial H} {\partial q}$ , хотя я думаю, что могу понять $\frac {\partial H} {\partial t} = \frac {dL} {dt}$ . Левая сторона должна дать $m\dot q\ddot q + kq\dot q - a\dot q$ , верно?

Джинави

Я думаю, что ваше сомнение такое же, как: physics.stackexchange.com/q/885

Джек М

@jinawee Мой вопрос больше связан с вычислениями/математикой, но да.

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com/q /105912/2451

Ответы (2)

Что означают производные в этих уравнениях Гамильтона?

Я думаю, что ваше сомнение такое же, как: physics.stackexchange.com/q/885
@jinawee Мой вопрос больше связан с вычислениями/математикой, но да.
Связанный: физика.stackexchange.com/q /105912/2451

джошфизика · Answer 1

Давайте для простоты ограничим обсуждение одним пространственным измерением.

Что происходит с частными производными?

Лагранжиан является функцией двух действительных переменных. Мы обычно обозначаем эти переменные $q, \dot q$ из-за их физического значения. Например, лагранжиан для одномерного простого гармонического осциллятора равен

\begin{aligned} л (д, \dot{д}) "=" \frac{1}{2} м {\dot{д}}^{2} - \frac{1}{2} к д^{2} \end{aligned}

$\begin{align} L(q, \dot q) = \frac{1}{2}m \dot q^2 -\frac{1}{2}k q^2 \end{align}$ Обратите внимание, что мы могли бы просто написать

\begin{aligned} л (♡, ♣) "=" \frac{1}{2} м ♣^{2} - \frac{1}{2} к ♡^{2}, \end{aligned}

$\begin{align} L(\heartsuit, \clubsuit) = \frac{1}{2}m\clubsuit^2 - \frac{1}{2}k\heartsuit^2, \end{align}$ потому что мы просто используем метки для двух слотов, которые могут быть любыми символами, которые мы выберем. Однако удобно придерживаться определенной маркировки, потому что тогда мы можем использовать некоторые удобные обозначения для частных производных. Например, если мы воспользуемся

q, \dot{q}

$q, \dot q$ обозначение, то выражения

\begin{aligned} \frac{\partial л}{\partial д}, \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial q}, \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot q} \end{align}$ означают производные от

L

$L$ относительно его первого и второго аргументов («слотов») соответственно. Но заметьте, что если бы мы использовали вторую маркировку выше, мы могли бы так же легко написать

\begin{aligned} \frac{\partial л}{\partial ♡}, \frac{\partial л}{\partial ♣} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial \heartsuit}, \qquad \frac{\partial L}{\partial \clubsuit} \end{align}$ для тех же производных.

Что такое гамильтониан... на самом деле?

Теперь гамильтониан также является функцией двух действительных переменных, и мы условно называем их $q$ и $p$ , но как эта функция генерируется из заданного лагранжиана $L$ ? Здесь нам нужно быть осторожными, потому что именно здесь физики склонны злоупотреблять обозначениями.

Что мы делаем, мы сначала определяем функцию $\bar p$ (канонический импульс, сопряженный с $q$ ) как некоторая производная от лагранжиана:

\begin{aligned} \bar{п} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{д}}, \end{aligned}

$\begin{align} \bar p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}, \end{align}$ где я использую обычную маркировку аргументов лагранжиана. я поставил бар на

p

$p$ здесь, чтобы избежать обычных злоупотреблений обозначениями, которые вы увидите в физике, и подчеркнуть реальную математику того, что происходит. Обратите внимание, в частности, что в этой общепринятой маркировке

\bar{p}

$\bar p$ является функцией двух действительных переменных

q

$q$ и

\dot{q}

$\dot q$ .

Далее запишем отношение

\begin{aligned} п "=" \bar{п} (д, \dot{д}), \end{aligned}

$\begin{align} p = \bar p(q, \dot q), \end{align}$ и мы инвертируем его, чтобы написать

\dot{q}

$\dot q$ с точки зрения

q

$q$ и

p

$p$ , так что теперь у нас есть

\begin{aligned} \dot{д} "=" некоторое выражение в терминах д, и п "=" ф (д, п), \end{aligned}

$\begin{align} \dot q = \text{some expression in terms of $q$, and $p$} = f(q,p), \end{align}$ Наконец, мы определяем

\begin{aligned} ЧАС (д, п) "=" п ф (д, п) - л (д, ф (д, п)) . \end{aligned}

$\begin{align} H(q,p) = p f(q,p) - L(q, f(q,p)). \end{align}$ Заметьте еще раз, что мы так же легко могли бы пометить аргументы

H

$H$ с любыми метками, которые мы хотели, но как только мы это делаем, мы обычно придерживаемся этой маркировки, и в этом случае здесь можно сделать те же самые замечания, которые мы сделали выше для производных лагранжиана.

Обратите внимание, что интуитивно здесь происходит то, что гамильтониан определяется « как функция $q$ и $p$ ; вы никогда не должны писать это "как функцию $q$ и $\dot q$ ."

Пример. Рассмотрим снова одномерный простой гармонический осциллятор. У нас есть

\begin{aligned} \bar{п} (д, \dot{д}) "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} (д, \dot{д}) "=" м \dot{д} \end{aligned}

$\begin{align} \bar p (q, \dot q) = \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q, \dot q) = m \dot q \end{align}$ Итак, теперь отношение

\bar{p} (q, \dot{q}) = p

$\bar p (q, \dot q) = p$ является

\begin{aligned} м \dot{д} "=" п \end{aligned}

$\begin{align} m \dot q = p \end{align}$ и, следовательно, инверсия для записи

\dot{q}

$\dot q$ с точки зрения

q

$q$ и

p

$p$ в этом случае очень легко;

\begin{aligned} \dot{д} "=" \frac{п}{м} "=" ф (д, п) . \end{aligned}

$\begin{align} \dot q = \frac{p}{m} = f(q,p). \end{align}$ Следует, что

\begin{aligned} ЧАС (д, п) & "=" п ф (д, п) - л (д, ф (д, п)) \\ "=" п (п / м) - \frac{1}{2} м (п / м)^{2} + \frac{1}{2} к д^{2} \\ "=" \frac{п^{2}}{2 м} + \frac{1}{2} к д^{2} \end{aligned}

$\begin{align} H(q,p) &= p f(q,p) - L(q, f(q,p)) \\ &= p(p/m) - \frac{1}{2}m(p/m)^2 +\frac{1}{2}kq^2 \\ &= \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2 \end{align}$ Теперь, взяв производные по

q

$q$ и

p

$p$ просто означает получение производных по первому и второму аргументам этой функции от двух действительных переменных.

Как насчет уравнений Гамильтона и т. д.?

Теперь, когда мы знаем, что такое гамильтониан и как он вычисляется, давайте обратимся к уравнениям, подобным уравнениям Гамильтона:

\begin{aligned} \dot{д} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial п}, \dot{п} "=" - \frac{\partial ЧАС}{\partial д}, \end{aligned}

$\begin{align} \dot q = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}, \end{align}$ Опять же, ваше замешательство неудивительно, потому что физики печально известны тем, что злоупотребляют обозначениями в этих случаях и не указывают на это.

Чтобы правильно интерпретировать это, заметим, что в гамильтоновой формулировке состояние системы в любой момент времени $t$ состоит из пары $(q(t),p(t))$ дающее значение положения системы и ее канонического импульса в это время $t$ . На самом деле, чтобы избежать увековечения распространенной путаницы, давайте использовать другое обозначение и писать $(\gamma_q(t), \gamma_p(t))$ для состояния системы в момент времени $t$ и резерв $q$ и $p$ для меток аргумента $H$ .

Тогда уравнения Гамильтона на самом деле говорят, что если пара $(\gamma_q(t), \gamma_p(t))$ — физическое движение, реализуемое системой, то

\begin{aligned} {\dot{γ}}_{д} (т) "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial п} (γ_{д} (т), γ_{п} (т)), {\dot{γ}}_{п} (т) "=" - \frac{\partial ЧАС}{\partial д} (γ_{д} (т), γ_{п} (т)) . \end{aligned}

$\begin{align} \dot \gamma_q(t) = \frac{\partial H}{\partial p}(\gamma_q(t), \gamma_p(t)), \qquad \dot \gamma_p(t) = -\frac{\partial H}{\partial q}(\gamma_q(t), \gamma_p(t)). \end{align}$ для всех

t

$t$ . Другими словами, мы получаем систему связанных ОДУ первого порядка для функций

γ_{q} (t), γ_{p} (t)

$\gamma_q(t), \gamma_p(t)$ . Вы можете видеть, из-за этого обозначения, что, например,

\dot{q}

$\dot q$ в уравнениях Гамильтона - другой зверь, чем

\dot{q}

$\dot q$ как используется для обозначения аргументов лагранжиана. В первом случае это функция, во втором — просто метка.

Вы всегда можете предотвратить эту двусмысленность, используя разные обозначения для этих животных в разных контекстах, как я сделал здесь. Однако, как только вы поймете, что делаете, вы сможете с радостью снова вернуться к перегрузке используемых вами символов и, вероятно, не совершите ошибку ни процедурно, ни концептуально. На самом деле, на практике почти каждый, кто знает, что делает, делает это, потому что так быстрее.

@Winther Дайте мне знать, если у вас остались вопросы или неясности, и я отвечу на них в приложении.
@Winther О, извините, я думал, что вы задали вопрос; никакого неуважения.
Ни один не взят. Если у меня возникнут вопросы по этой теме в будущем, я вспомню, что вы предложили на них ответить :)
@joshphysics Спасибо за сообщение выше. Если у нас есть лагранжиан, который имеет $q$ и $q^2$ , можно ли считать $q$ и $q^2$ как независимые и надежные их, как $q_1:=q$ и $q_2:=q^2$ ? Ведь в линейной алгебре $x$ и $x^2$ считаются самостоятельными...
@mr.curious Вы должны быть осторожны с тем, как вы определяете слово «независимый». В векторном пространстве вещественных полиномов степени меньше $k$ , мономы линейно независимы, но я не думаю, что понятие независимости имеет прямое отношение в этом контексте. Похоже (для системы, движущейся в 1 пространственном измерении) вы пытаетесь удвоить размерность конфигурационного многообразия посредством переопределения координат. Возможно, вы сможете сделать это и рассматривать получившуюся систему как гамильтонову систему с ограничением $q_2 = q_1^2$ , но мне непонятно, что вы выиграете.
@joshphysics Спасибо за ответ. Причина, по которой я спрашиваю, заключается в том, что, выбрав $q_2 := q_1^2$ один увеличивает размерность и тем самым может усилить симплектическую структуру. Допустим, у нас есть динамическая часть $p_1\dot{q}_1 + p_2\dot{q}_2 + p_1 p_2\dot{q}_3 + p_3\dfrac{d}{dt} (q_1 q_2)$ . Отношение: $p_1 p_2\rightarrow p_3$ , $p_3\rightarrow p_4$ и $q_1 q_2\rightarrow q_4$ . Мы получаем: $p_1\dot{q}_1 + p_2\dot{q}_2+p_3\dot{q}_3 + p_4\dot{q}_4$ . И тогда у нас есть симплектическая структура... Это нормально?

Винтер · Answer 2

Ваша система имеет две степени свободы: вам нужно указать «положение» $q$ и "скорость" $p$ . В гамильтониане $p$ и $q$ поэтому считаются независимыми переменными, описывающими эти степени свободы.

Чтобы вычислить частные производные, перепишите гамильтониан так, чтобы он зависел только от $p$ и $q$ , т.е.

ЧАС "=" \frac{1}{2 м} п^{2} + \frac{1}{2} к д^{2} - д а

$H = \frac{1}{2m}p^2 + \frac{1}{2}kq^2 - qa$

и использовать это $p$ и $q$ независимы, поэтому

\frac{\partial ЧАС}{\partial п} "=" \frac{1}{м} п

$\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{1}{m}p$

и

\frac{\partial ЧАС}{\partial д} "=" к д - а

$\frac{\partial H}{\partial q} = kq - a$

Что означают производные в этих уравнениях Гамильтона?

Джек М

Джинави

Джек М

Qмеханик

Ответы (2)

джошфизика

джошфизика

джошфизика

Винтер

Мистер. любопытный

джошфизика

Мистер. любопытный

Винтер

Зависимость равновременной коммутации электромагнитного поля

Существует ли лагранжева или гамильтонова формулировка электромагнетизма с непрерывным распределением магнитных монополей?

Канонический формализм в координатах светового конуса

Неголономные связи в теории Дирака-Бергмана

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Построение лагранжиана из гамильтониана для майорановских фермионов

Как лагранжиан с дельта-потенциалом преобразуется в гамильтониан?

Эволюция Шредингера для уравнения Клейна-Гордона