Количество мод Голдстоуна в модели Гейзенберга?

Наличие режима Голдстоуна в импульсе$\boldsymbol k = (k_x,k_y,k_z)$требует, чтобы энергия там обращалась в нуль, т.е.$\varepsilon(\boldsymbol k) = 0$. В периодической зоне Бриллюэна$\left[ -\frac{\pi}{a} , \frac{\pi}{a} \right] \times \left[ -\frac{\pi}{a} , \frac{\pi}{a} \right] \times \left[ -\frac{\pi}{a} , \frac{\pi}{a} \right]$, это происходит только в центре зоны,$\boldsymbol k = (0,0,0)$. Точнее, для малых импульсов имеем

Таким образом, у нас, по-видимому, есть только одна мода Голдстоуна. Как это рифмуется с числом голдстоуновских мод, равным числу генераторов нарушенной симметрии (которых в данном случае действительно два )?

Ответ о том, что приведенное выше эмпирическое правило для подсчета мод Голдстоуна верно для релятивистских теорий, где моды Голдстоуна имеют низкоэнергетическую дисперсию.$\varepsilon \sim |\boldsymbol k|$. Однако в приведенном выше случае наша низкоэнергетическая дисперсия является квадратичной . Действительно, более общая формула приведена в статье Нильсена и Чадхи « О том, как считать голдстоуновские бозоны » 1976 года: режимы, в которых$\varepsilon_{\boldsymbol k} \sim |\boldsymbol k|^z$считать дважды , если$z$даже. Следовательно,

Пример: ферромагнитная модель Гейзенберга имеет одну моду Голдстоуна с квадратичной дисперсией, тогда как антиферромагнитная модель Гейзенберга имеет две моды Голдстоуна с линейной дисперсией. В обоих случаях это согласуется с количеством сломанных генераторов, равным двум .