Тензор калибровочного поля из петли Уилсона

Калибровочное поле можно ввести в КТП исключительно на основе геометрических соображений. Для простоты рассмотрим КЭД, начав только с фермионов и увидев, как естественным образом возникает калибровочное поле. Наблюдение состоит в том, что производная поля Дирака не имеет четко определенного преобразования, потому что:

$$n^\mu \partial_\mu \,\psi = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\big[\psi(x+\epsilon n)-\psi(x)\big],$$ т.е. производная объединяет два поля в разных точках пространства-времени (с разными правилами преобразования). Нам нужно ввести параллельный транспортер $U(y,x)$который трансформируется как $$U(y,x) \rightarrow e^{ig\alpha(y)}U(y,x) e^{-ig \alpha(x)},$$ так что мы можем адаптировать определение производной к ковариантной производной, которая преобразуется определенным образом: $$n^\mu D_\mu \,\psi = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\big[\psi(x+\epsilon n)- U(x+\epsilon n,x)\psi(x)\big].$$ Из геометрических соображений легко показать, что параллельный транспортер является линией Вильсона: $$U(y,x) = \mathcal{P}\,e^{ig\int\limits_x^y dz^\mu\, A_\mu(z)},$$ которое вводит новое поле, а именно калибровочное поле $A_\mu$. См., например, Peskin & Schroeder, главу 15 для более подробной информации.

Однако.. Где член взаимодействия$\bar{\psi} A_\mu \psi$возникли естественным образом, я совершенно не понимаю, как возникают кинетические термины. Стандартный способ продолжить - рассмотреть петлю Уилсона (линию Уилсона на замкнутом пути) и использовать теорему Стокса:

$$\text{exp}\left\{ig\oint_\mathcal{C}dx^\mu\, A_\mu \right\} = \text{exp}\left\{ig\int_\Sigma dx^\mu \wedge dx^\nu\,\left(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \right)\right\},$$ где конечно $\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \equiv F_{\mu\nu}$. Затем Пескин и Шредер рассматривают маленькую прямоугольную петлю и видят, что в пределе $\epsilon\rightarrow 0$, $F_{\mu\nu}$является инвариантным. Но в чем смысл? Я имею в виду закон преобразования для $A_\mu$легко вычисляется из определения петли Вильсона: $$A_\mu\rightarrow A_\mu+\partial_\mu \alpha,$$ изготовление $F_{\mu\nu}$инвариант по определению: $$F_{\mu\nu}\rightarrow \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu +\square \alpha-\square \alpha.$$

Мне бы хотелось увидеть расчет, начиная с конкретной параметризации петли, который естественным образом приводит к правильным кинетическим членам в лагранжиане, как это было в случае с членом взаимодействия. Другими словами

$$\text{exp}\left\{ig\oint_\mathcal{C}dx^\mu\, A_\mu \right\} \leadsto -\frac{1}{4}\left(F_{\mu\nu}\right)^2,$$ но я понятия не имею, как это сделать.

Или это просто идея: «Смотрите, я нашел некоторые квадратичные производные, которые являются инвариантными, теперь позвольте мне немного повозиться и поместить их квадрат в$\mathcal{L}$'? Если да, то почему Пескин и Шредер утруждают себя вычислением параметризации цикла (стр. 484), если с помощью теоремы Стокса было бы достаточно найти$F_{\mu\nu}$где-то?

РЕДАКТИРОВАТЬ

На основании комментариев несколько уточнений. Это не вопрос о том, зачем нам нужны кинетические термины или какими они должны быть. Я прекрасно знаю, как построить лагранжиан СМ стандартным способом. У вас есть векторное поле$A_\mu$, вам нужны кинетические термины, поэтому вы используете некоторую структуру, подобную Клейну-Гордону, немного адаптируете ее (из-за калибровочного поведения$A_\mu$) и так далее. Стандартный КФТ.

Но это все вручную , почти методом проб и ошибок, вводя термины, потому что вы знаете, что они работают так, как должны. Это похоже на составление лагранжиана в виде головоломки: просто складывайте подходящие кусочки. С этим проблем нет, он работает и является общепринятым способом изучения физики, но с теоретической точки зрения он не так элегантен.

Но мы можем сделать это более элегантным способом. Если исходить только из поля Дирака и уравнения Дирака, то чисто по математическим и геометрическим соображениям появляется калибровочное поле, как обсуждалось выше. Вопрос в том, можем ли мы также заставить кинетические члены для калибровочного поля появляться исключительно на основе математических и геометрических аргументов. Если вы верите книге КТП Пескина и Шредера, вы можете, начиная с петли Уилсона (как обсуждалось выше, см. стр. 484-494). Но тогда вы в конечном итоге с фактором$\epsilon^4$, квадрат площади петли перед тензором поля. Вы можете ограничиться классом петель с площадью$S=1$, но с этим есть две проблемы:

• При расчете показатель степени и интеграл расширили, используя тот факт, что$\epsilon <\!\!< 1$. Это противоречит нашему ограничению$S=1$.
• Это ограничение несколько сводит на нет элегантность, так как теперь область цикла должна быть точно настроена. Я ожидал найти что-то вроде «в пределе$\epsilon\rightarrow 0$, остается тензор поля».

Итак, нельзя ли тогда получить кинетические члены для калибровочного поля исключительно из геометрических соображений?

Если ответ отрицательный, то нет смысла хвастаться естественным появлением термина взаимодействия. Это не элегантно, когда член взаимодействия возникает естественным образом, но вы должны вручную выбирать кинетические члены. Во-первых, как вы докажете, что естественно возникающее поле (термины взаимодействия) и поле, которое вы вводите (кинетические термины), являются одним и тем же полем?