Как (или почему) принцип эквивалентности привел к уравнениям поля Эйнштейна?

В 1921 году Эйнштейн прочитал в Принстоне серию лекций, которые сегодня вы можете прочитать под названием «Значение теории относительности» . Это раннее и очень специальное описание общей теории относительности, в котором он уделяет большое внимание концепциям и рассуждениям, которые привели его к теории.

Никто не может знать, что на самом деле было в уме Эйнштейна, но в этих лекциях он ведет себя так, как будто он изобрел общую теорию относительности с помощью своего рода эвристического процесса, основанного на принципе эквивалентности. Делал ли он это на этих лекциях, чтобы другие могли лучше его понять, или же он действительно использовал принцип эквивалентности как источник общей теории относительности, трудно сказать, но я готов поспорить, что это второй случай. В этих лекциях присутствуют и другие идеи, вроде принципа Маха (это еще один вопрос, который, впрочем, до сих пор остается нерешенным).

Это очень хорошая книга, которая немного показывает, как работало мышление Эйнштейна (по крайней мере, она дает такую ​​иллюзию). Однако это не популярное описание (во всяком случае, его легче читать, чем статью 1916 года). Я попытаюсь кратко изложить здесь, как эти лекции ведут от принципа эквивалентности к общей теории относительности, хотя эта попытка почти кощунственна, и вам следует попробовать взглянуть на текст Эйнштейна (нет ничего лучше). Обратите внимание, что я буду цитировать некоторые абзацы книги. Я могу это сделать, потому что срок действия авторских прав на эти лекции истек, они предлагаются бесплатно, например, на сайте проекта Гутенберга . Я также вставлю краткие объяснения основных вещей, которые вы, вероятно, знаете, для других читателей.

Итак, согласно этой книге, это более или менее шаги, соединяющие принцип эквивалентности и уравнения поля:

1: Инвариантность бесконечно малого интервала, распространенного на неинерциальных наблюдателей.

Специальная теория относительности уже хорошо разобралась с явлениями в отсутствие гравитации. В этой теории расстояние, измеренное между двумя бесконечно близкими событиями в пространстве-времени, одинаково для двух наблюдателей.$O$а также$O'$которые движутся с постоянной скоростью относительно друг друга:

$$cdt^2-dx^2-dy^2-dz^2 =cdt'^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2$$ Вы можете думать о «событии» как об искре: что-то мгновенное, происходящее в точке пространства и времени.

Величина, которая может быть непосредственно измерена нашими измерительными стержнями и часами,

$${dX_{1}}^{2} + {dX_{2}}^{2} + {dX_{3}}^{2} - {dX_{4}}^{2}$$ поэтому является однозначно определенным инвариантом для двух соседних событий

Приведенное ниже выражение можно записать в более короткой форме, как в уравнении (55) книги:

$$ds^2=g_{\mu \nu}dx^{\mu \nu}$$

И поэтому,$ds^2=ds'^2$, оба наблюдателя измеряют один и тот же интервал

Что относится$(t,x,y,z)$а также$(t',x',y,',z')$является преобразованием Лоренца . С помощью преобразования Лоренца вы можете вычислить, например, разницу в длине стержня, которую будут измерять два наблюдателя, движущихся по-разному (инерциальные), и, следовательно, разные$dx^{\mu}$. Но набор коэффициентов$g_{\mu\nu}$одинакова для обоих наблюдателей в специальной теории относительности , просто набор из четырех чисел$+1,-1,-1$а также$-1$

2: Новая роль и тензорный характер$g_{\mu \nu}$коэффициенты

Проблема заключалась в том, что преобразование Лоренца работает только для неускоряющихся наблюдателей. Но принцип эквивалентности гласил, что ускоренный наблюдатель должен быть во что бы то ни стало эквивалентен неускоренному наблюдателю, включившему гравитационное поле, и тогда блестящая проницательность Эйнштейна заключалась в том, чтобы «исправить» специальную теорию относительности, НЕ пытаясь заново изобрести преобразование Лоренца. , а скорее путем введения новой информации гравитационного поля/ускорения в$g_{\mu\nu}$величин, которые до этого момента были просто набором пассивных постоянных чисел, не зависящих от наблюдателя.

Но почему в$g_{\mu\nu}$? Что ж, было известно, что относительная скорость изменяет меры длины между наблюдателями. Это эквивалентно изменению расстояния между отметками оси одного из наблюдателей. Если и существовал способ сделать такое сокращение более изощренным способом для учета ускорений, то он заключался в изменении коэффициентов$g_{\mu \nu}$которые умножают$dx^{\mu}$зависимым от наблюдателя образом, так что окончательное выражение$ds^2$оставался независимым от наблюдателя. Сейчас это может показаться легким для понимания, но для того, чтобы сначала прийти к этой блестящей идее, вы должны быть... ну, Эйнштейном!

Поэтому он начал искать способ сделать это изменение$g_{\mu \nu}$чтобы включить ускорения, и поэтому он начал искать его математические свойства. И отправной точкой было требование, чтобы принцип эквивалентности выполнялся и в новой ситуации:

Это следует из инвариантности$ds^{2}$при произвольном выборе$dx_{\nu}$, в связи с условием симметрии, согласующимся с (55), что$g_{\mu\nu}$являются компонентами симметричного ковариантного тензора (фундаментального тензора).

3: Геодезический постулат, соединяющий$g_{\mu \nu}$и гравитация

С$ds^2$Учитывая короткое смещение в пространстве-времени, следующим шагом было увидеть, что происходит, когда короткое смещение следует за другим , идущим всегда вперед, не допуская никаких отклонений от прямой линии, пока не будет построена конечная «прямая» траектория. Это важно, потому что говорит вам, как устроено пространство (время), в котором вы движетесь. Например, если вы начинаете идти по прямой к Северному полюсу, независимо от того, насколько прямо вы шли, когда вы достигаете Северного полюса, вы понимаете, что в трехмерном пространстве ваша траектория сделала гигантскую дугу, и поэтому вы знаете что вы ходите по искривленной поверхности Земли.

Такая «прямая» траектория называется геодезической линией и математически уже была известна для «обычной» геометрии криволинейных поверхностей:

Линия может быть построена таким образом, что ее последовательные элементы возникают друг из друга путем параллельных перемещений. Это естественное обобщение прямой линии евклидовой геометрии. Для такой линии имеем

$$\delta \left(\frac{dx_{\mu}}{ds}\right) = -\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu} \frac{dx_{\alpha}}{ds}\, dx_{\beta}$$ Левая сторона подлежит замене на $\dfrac{d^{2} x_{\mu}}{ds^{2}}$

Мы получим ту же линию, если найдем линию, которая дает стационарное значение интегралу

$$\int ds\quad\text{or}\quad \int \sqrt{g_{\mu\nu}\, dx_{\mu}\, dx_{\nu}}$$ между двумя точками (геодезическая линия).

Теперь вы видите, что если бы вы могли знать$g_{\mu \nu}$наблюдатель «чувствует» каждую точку пространства-времени, вы можете вывести форму геодезической линии между двумя произвольными событиями. Как бы наоборот (но не совсем в общем случае), если бы какой-то физический принцип мог указать нам форму геодезической линии, мы бы имели связь между$g_{\mu \nu}$и гравитация для каждого наблюдателя. Необходимым физическим принципом было еще одно блестящее открытие, геодезический постулат:

Материальная частица, на которую не действует никакая сила, движется по принципу инерции равномерно и прямолинейно. В четырехмерном континууме специальной теории относительности (с координатой реального времени) это настоящая прямая линия. Естественным, т. е. простейшим, обобщением прямой, правдоподобным в системе понятий общей теории инвариантов Римана, является обобщение самой прямой, или геодезической, линии. Соответственно, в смысле принципа эквивалентности мы должны будем предположить, что движение материальной частицы под действием только инерции и гравитации описывается уравнением

$$\frac{d^{2} x_{\mu}}{ds^{2}} + \Gamma_{\alpha\beta}^{\mu} \frac{dx_{\alpha}}{ds}\, \frac{dx_{\beta}}{ds} = 0$$

На самом деле это уравнение сводится к уравнению прямой линии, если все компоненты$\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}$, гравитационного поля обращаются в нуль.

Вы видите, что на этом верху книги он уже называет «гравитационным полем» те коэффициенты (символы Кристоффеля), которые объясняют способ «сжатия» оси наблюдателя.

Подводя итог до сих пор:

• В отсутствие гравитации свободная частица движется прямолинейно по инерции Галилея.
• Все инерциальные наблюдатели видят эту свободную частицу движущейся по прямой (ограниченная версия специальной теории относительности, основанная на принципе эквивалентности).
• Это распространяется на пространство-время с гравитационными или ускоренными наблюдателями, постулируя, что свободные частицы «видны» в пространстве-времени вдоль геодезических линий всеми наблюдателями, инерционными или нет.

4: Ньютона$F=\dot p$из уравнения геодезических

Сразу же после формулировки геодезического постулата он требует, чтобы уравнения движения сводились к ньютоновским уравнениям в отсутствие гравитации, и поэтому уже находит ньютоновские уравнения движения:

Как эти уравнения связаны с уравнениями движения Ньютона? Согласно специальной теории относительности,$g_{\mu\nu}$так же хорошо как$g^{\mu\nu}$, имеют значения относительно инерциальной системы (с координатой в реальном времени и подходящим выбором знака$ds^{2}$),

$$\left. \begin{array}{*{4}{>{\quad}r}} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & +1 \end{array} \right\}$$

Тогда уравнения движения становятся

$$\frac{d^{2} x_{\mu}}{ds^{2}} = 0.$$ Мы будем называть это "первым приближением" к $g_{\mu\nu}$-поле.

«Второе приближение» состоит в добавлении небольшого возмущения к этому$g_{\mu\nu}$поле, которое приводит его ко второму закону Ньютона$F=\dot p$, что позволяет отождествить добавленное им малое возмущение с классическим гравитационным потенциалом (заключенным в силе, равной градиенту потенциала). У него уже есть теория, напоминающая ньютоновскую гравитацию, но только если гравитационный потенциал (или задействованное ускорение) невелик.

5: Эвристический поиск по общему виду уравнений гравитации, по сходству с уравнением Пуассона и необходимости локального сохранения энергии-импульса для всех наблюдателей

Итак, последняя часть пути — это распространение этого на общий случай. Он хочет, чтобы его уравнения были похожи на уравнения ньютоновской гравитации, когда они написаны а-ля Пуассон, где вы можете видеть поле плотности, зависящее от положения, с одной стороны, как источник «ощутимых» эффектов (гравитационный потенциал), лежащих с другой стороны. сторона знака равенства. Он пытается это сделать, потому что у него уже есть какой-то объект, который можно поставить вместо массы, объект, который он берет из специальной теории относительности, которая описывает массу и энергию, тензор энергии-импульса:

Далее мы должны попытаться найти законы гравитационного поля. Для этого уравнение Пуассона,

$$\Delta\phi = 4\pi K\rho$$ ньютоновской теории должны служить моделью. Это уравнение основано на идее, что гравитационное поле возникает из плотности $\rho$весомой материи. Так должно быть и в общей теории относительности. Но наши исследования специальной теории относительности показали, что вместо скалярной плотности материи мы имеем тензор энергии на единицу объема. В последнюю входит не только тензор энергии весомой материи, но и тензор электромагнитной энергии.

И теперь наступает заключительная часть: что-то похожее на левую часть уравнения Пуассона. Если справа это должен быть тензор энергии-импульса, то и левая часть тоже должна быть тензором. Он долго пытался найти его (так называемый тензор Эйнштейна) и даже впервые опубликовал его ограниченную версию в 1915 году, которая быстро оказалась применимой не во всех ситуациях.

Чтобы сохранить аналогию с уравнением Пуассона, тензор Эйнштейна должен был обладать определенными свойствами:

Если в общей теории относительности существует аналог уравнения Пуассона, то это уравнение должно быть тензорным уравнением для тензора$g_{\mu\nu}$гравитационного потенциала; тензор энергии материи должен стоять в правой части этого уравнения. В левой части уравнения должен стоять дифференциальный тензор в$g_{\mu\nu}$. Нам нужно найти этот дифференциальный тензор. Она полностью определяется следующими тремя условиями:

1. Может не содержать дифференциальных коэффициентов$g_{\mu\nu}$выше второго.

2. Он должен быть линейным и однородным по этим вторым дифференциальным коэффициентам.

3. Его дивергенция должна тождественно равна нулю.

Первые два из этих условий естественно берутся из уравнения Пуассона.

Третье условие исходит из чего-то, аналогичного классическому закону сохранения энергии и импульса, который переводится в утверждение о том, что дивергенция тензора энергии-импульса должна снова исчезнуть для всех наблюдателей:

Согласно нашим предыдущим результатам, принципы импульса и энергии выражаются утверждением, что дивергенция этого тензора обращается в нуль. В общей теории относительности мы должны будем считать действительным соответствующее общее ковариантное уравнение.

(Имейте в виду, однако, что это только локальная консервация, но это уже другой вопрос).

Существуют и другие формы, которые мог бы иметь тензор Эйнштейна, чтобы удовлетворить этим условиям, и интересно отметить, что при выборе окончательной формы, как говорят, у него было своего рода эстетическое чувство простоты. Ну вот и последний шаг:

Поскольку математически можно доказать, что все такие дифференциальные тензоры могут быть образованы алгебраически (т.е. без дифференцирования) из тензора Римана, наш тензор должен иметь вид

$$R_{\mu\nu} + a R g_{\mu\nu}$$ в котором $R_{\mu\nu}$а также $R$определяются уравнением (...) Далее, можно доказать, что третье условие требует $a$иметь значение $-\frac{1}{2}$. Таким образом, для закона гравитационного поля мы получаем уравнение $$R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}g_{\mu\nu} R = - \kappa T_{\mu\nu}$$

Постоянная$\kappa$оказывается пропорциональным ньютоновскому$G$через пару страниц отождествлением с ньютоновской гравитацией в пределе малых энергий.

Принцип эквивалентности не является источником общей теории относительности в том смысле, что вы начинаете с принципа эквивалентности, а несколько страниц математики позже заканчиваются общей теорией относительности. Это скорее руководящий принцип. Если вы признаете, что принцип эквивалентности верен, он накладывает ограничения на теорию, описывающую гравитацию.

Никто, кроме Эйнштейна, не может точно сказать, как он пришел к ОТО. Из чтения различных историй того времени мне кажется, что как только Эйнштейн придумал принцип эквивалентности, он начал искать теории, которые его воплощали. Уже высказывались предположения, что гравитация может быть геометрическим свойством, но до тех пор, пока Эйнштейн и Гроссман не пришли к идее использования римановой геометрии, никто не реализовал эту идею. Эйнштейн, должно быть, очень быстро понял, что геометрическая теория предлагает естественный способ включения принципа эквивалентности.

В разделе « Развитие теории гравитации » в статье Википедии о принципе эквивалентности есть больше информации об этом. Если вас интересуют более подробные сведения об истории теории относительности, я рекомендую книгу Абрахама Паиса « Тонкий — это Господь » .