Как построить гомоморфизм групп Ли SU(2)→SO(3)SU(2)→SO(3)SU(2) \to SO(3) через изоморфизм алгебр Ли Λ:su(2)→so(3) )Λ:su(2)→so(3)\Lambda:{\frak su}(2)\to{\frak so}(3)?

Question

Как построить гомоморфизм групп Ли SU(2)→SO(3)SU(2)→SO(3)SU(2) \to SO(3) через изоморфизм алгебр Ли Λ:su(2)→so(3) )Λ:su(2)→so(3)\Lambda:{\frak su}(2)\to{\frak so}(3)?

пользователь35952

Алгебра Ли $\mathfrak{so(3)}$ и $\mathfrak{su(2)}$ соответственно

[л_{я}, л_{Дж}] "=" я ϵ_{я Дж}^{к} л_{к}

$[L_i,L_j] = i\epsilon_{ij}^{\;\;k}L_k$

[\frac{о_{я}}{2}, \frac{о_{Дж}}{2}] "=" я ϵ_{я Дж}^{к} \frac{о_{к}}{2}

$[\frac{\sigma_i}{2},\frac{\sigma_j}{2}] = i\epsilon_{ij}^{\;\;k}\frac{\sigma_k}{2}$

И, конечно же, между этими двумя алгебрами существует изоморфизм,

Λ : с ты (2) \to с о (3)

$\Lambda : \mathfrak{su(2)} \rightarrow \mathfrak{so(3)}$ такой, что

Λ (σ_{i} / 2) = L_{i}

$\Lambda(\sigma_i/2) =L_i$

Теперь это возможно, используя $\Lambda$ , чтобы построить групповой гомоморфизм между $SU(2)$ и $SO(3)$ ?

Я проверял гомоморфизм групп Ли , и в Википедии есть красивая картинка введите описание изображения здесь

На языке этого изображения, как $\phi$ и $\phi_*$ связаны друг с другом (точно так же, как алгебра и групповые элементы).

Примечание . Я знаю, что между этими двумя группами существует гомоморфизм «один к двум», который можно найти непосредственно с помощью групповых элементов. Я не ищу это.

РЕДАКТИРОВАТЬ 1 : В $SL(2,\mathbb{R})$ генераторы, скажем $X_1,X_2,X_3$ , они подчиняются следующим правилам коммутации:

[{Икс}_{1}, {Икс}_{2}] "=" 2 {Икс}_{2}

$[X_1,X_2] = 2X_2$

[{Икс}_{1}, {Икс}_{3}] "=" - 2 {Икс}_{3}

$[X_1,X_3] = -2X_3$

[{Икс}_{2}, {Икс}_{3}] "=" {Икс}_{1}

$[X_2,X_3] = X_1$

И в случае $SO(3)$ с другой основой, $L_{\pm} = L_1 \pm i L_2$ и $L_z = L_3$ с коммутаторами,

[л_{г}, л_{\pm}] "=" \pm л_{\pm}

$[L_z,L_{\pm}]= \pm L_{\pm}$

[л_{+}, л_{-}] "=" 2 л_{г}

$[L_+,L_-]= 2 L_z$

Эта алгебра очень похожа на алгебру предыдущей, так почему же мы не можем определить карту?

РЕДАКТИРОВАТЬ 2 :

Можно ли записать групповой гомоморфизм между этими двумя группами так (что-то вроде того, что я ожидал):

р "=" опыт (\sum_{к} я т_{к} л_{к}) "=" опыт (\sum_{к} я т_{к} \frac{о_{к}}{2}) "=" опыт (\sum_{к} я т_{к} \frac{1}{2} л н (U_{к}))

$R = \exp(\sum_k i t_k L_k) = \exp\left(\sum_k i t_k \frac{\sigma_k}{2}\right) = \exp\left(\sum_k i t_k \frac{1}{2}ln(U_k)\right)$

Теперь это похоже на карту $\phi$ ,

р "=" ф (U) "=" опыт (\sum_{к} я т_{к} \frac{1}{2} л н (U_{к}))

$R = \phi(U) = \exp\bigg(\sum_k i t_k \frac{1}{2}ln(U_k)\bigg)$

Гейдар

На этом языке

ϕ_{⋆}

$\phi_\star$ по существу является дифференциалом

ϕ

$\phi$ (при идентичности), иногда также называемом pushforward (именно это означает звездочка в индексе). en.wikipedia.org/wiki/Pushforward_(дифференциал) Этот вопрос, вероятно, больше подходит для math.SE.

Qмеханик

Комментарий к вопросу (v4): Обратите внимание, что два генератора

L_{\pm}

$L_{\pm}$ не принадлежат алгебре Ли

s o (3)

$so(3)$ . Скорее они относятся к комплексификации

s o (3, C)

$so(3,\mathbb{C})$ . Заметим, что комплексификации вещественных алгебр Ли

s u (2) ≅ s o (3)

$su(2)\cong so(3)$ и

s l (2, R) ≅ s o (2, 1)

$sl(2,\mathbb{R})\cong so(2,1)$ все одинаковые, а именно

s l (2, C) ≅ s o (3, C)

$sl(2,\mathbb{C})\cong so(3,\mathbb{C})$ .

пользователь35952

@Qmechanic: О, большое спасибо, значит, у этих двух вещей есть сходство?

пользователь35952

@Qmechanic: Итак, существует ли также общее правило, согласно которому группы с вещественными/сложными параметрами имеют соответствующие LVS алгебры Ли, определенные над реальным/комплексным полем соответственно?

Qмеханик

↑

$\uparrow$ Да.

Ответы (2)

Как построить гомоморфизм групп Ли SU(2)→SO(3)SU(2)→SO(3)SU(2) \to SO(3) через изоморфизм алгебр Ли Λ:su(2)→so(3) )Λ:su(2)→so(3)\Lambda:{\frak su}(2)\to{\frak so}(3)?

На этом языке $\phi_\star$ по существу является дифференциалом $\phi$ (при идентичности), иногда также называемом pushforward (именно это означает звездочка в индексе). en.wikipedia.org/wiki/Pushforward_(дифференциал) Этот вопрос, вероятно, больше подходит для math.SE.
Комментарий к вопросу (v4): Обратите внимание, что два генератора $L_{\pm}$ не принадлежат алгебре Ли $so(3)$ . Скорее они относятся к комплексификации $so(3,\mathbb{C})$ . Заметим, что комплексификации вещественных алгебр Ли $su(2)\cong so(3)$ и $sl(2,\mathbb{R})\cong so(2,1)$ все одинаковые, а именно $sl(2,\mathbb{C})\cong so(3,\mathbb{C})$ .
@Qmechanic: О, большое спасибо, значит, у этих двух вещей есть сходство?
@Qmechanic: Итак, существует ли также общее правило, согласно которому группы с вещественными/сложными параметрами имеют соответствующие LVS алгебры Ли, определенные над реальным/комплексным полем соответственно?

Вальтер Моретти · Answer 1

Вальтер Моретти

Сначала обратите внимание, что генераторы $-i\sigma_k/2$ и $-iL_k$ , так как группы являются реальными группами Ли и, следовательно, структурный тензор должен быть вещественным .

Ответ на ваш вопрос положительный. В принципе, достаточно взять экспоненту изоморфизма алгебр Ли, и таким образом возникает сюръективный гомоморфизм групп Ли. $\phi : SU(2)\to SO(3)$ :

ф (опыт {- \sum_{к} т^{к} я о_{к} / 2}) "=" опыт {- \sum_{к} т^{к} я л_{к}} .

$\phi\left(\exp\left\{-\sum_k t^k i\sigma_k/2\right\}\right) =\exp\left\{-\sum_k t^k iL_k\right\}\:.$ Дело в том, что нужно быть уверенным, что аргумент в левой части покрывает всю группу. Для рассматриваемого случая это верно, поскольку

S U (2)

$SU(2)$ компактен.

Если вместо этого вы не рассматриваете компактные группы Ли, например $SL(2,\mathbb C)$ , экспонента не покрывает группу. Однако можно доказать, что произведения экспоненты делают. В этом случае достаточно произведения двух экспонент, что на практике разлагает элемент $SL(2,\mathbb C)$ с помощью полярного разложения, говоря математически, или как (уникальный) продукт вращения и ускорения, говоря физически.

пользователь35952

Спасибо !! Но я хочу знать, какова будет функциональная форма этого

ϕ

$\phi$ . Я довольно новичок в этом вопросе, не могли бы вы быть более точным в этой части?

Вальтер Моретти

Ну, в моем ответе уже все ясно по поводу

ϕ

$\phi$ . Элемент

S U (2)

$SU(2)$ всегда можно записать в виде экспоненты, как я написал (эту экспоненту можно вычислить, а формулу можно найти в каждой книге по КМ). Принципиальным моментом является то, что элемент полностью фиксируется коэффициентами

t_{k}

$t_k$ . Эти коэффициенты появляются в правой части, определяя вращение (снова записанное в терминах экспоненты), связанное с элементом

S U (2)

$SU(2)$ в левой части.

пользователь35952

@ В. Моррети: Спасибо !! Поскольку вы указали на SL (2, R). Я также проверил, что существует изоморфизм между алгебрами sl(2,R) и so(3). Поэтому я предполагаю, что для этих групп существует аналогичная карта. В таком случае, какую проблему вы пытаетесь решить?

Вальтер Моретти

Нет, это изоморфизм между sl(2,R) и o(3,1). Есть аналогичная карта, но теперь каждый элемент

S L (2, R)

$SL(2,\mathbb R)$ должно быть разложено в произведение двух экспонент (используя процедуру полярного разложения), и, соответственно, в правой части появляется произведение экспонент, соответствующее стандартному разложению элемента

O (3, 1)

$O(3,1)$ как продукт

S O (3)

$SO(3)$ вращение и чистое преобразование Лоренца.

пользователь35952

@V.Morreti: Но sl(2,R) имеет только 3 генератора, а o(3,1) - 6. Я думаю, вы пытаетесь поговорить о sl(2,C) и o(3,1).

Вальтер Моретти

Извините, вы правы! я думал о

S L (2, C)

$SL(2,\mathbb C)$ но я всегда писал

S L (2, R)

$SL(2, \mathbb R)$ (конформная группа). Дело в том, что я в настоящее время имею дело с последним, и мои пальцы быстрее, чем мой мозг!

пользователь35952

ОК :) Но тогда, похоже, существует изоморфизм между sl(2,R) и so(3), который я наблюдал пару дней назад.

Вальтер Моретти

Нет, такого изоморфизма не существует. SL(2,R) не компактен, тогда как SO(3) компактен. Отсюда следует, что не может существовать никакого изоморфизма групп или алгебр Ли.

пользователь35952

Было бы очень приятно, если бы вы могли увидеть часть EDIT этого вопроса и объяснить, почему мы не можем построить такую карту, спасибо :)

Вальтер Моретти

Что ж, ответ прост: вам нельзя рассматривать эту линейную комбинацию.

L_{1} \pm i L_{2}

$L_1 \pm iL_2$ если

L_{1}, L_{2} \in s o (3)

$L_1,L_2 \in so(3)$ . Это потому, что вы имеете дело с реальной алгеброй Ли, поэтому возможны только реальные линейные комбинации. Если

L_{1}, L_{2} \in s o (3)

$L_1,L_2 \in so(3)$ затем

L_{1} \pm i L_{2} \notin s o (3)

$L_1 \pm iL_2 \not \in so(3)$ .

Вальтер Моретти

Очевидно, такое же препятствие возникает, если в ваших обозначениях

i L_{k}

$iL_k$ являются генераторами

s o (3)

$so(3)$ .

пользователь35952

Еще один вопрос (извините за беспокойство): часть EDIT 2 (которую я только что добавил) в вопросе подходит для решения группового сопоставления !!

Вальтер Моретти

Да. достаточно для определения

U_{k} = e^{σ_{k}}

$U_k = e^{\sigma_k}$ ...

пользователь35952

Но я думаю, что гомоморфизм групп равен два к одному.

R_{i k} = \frac{1}{2} T r (U σ_{i} U^{†} σ_{k})

$R_{ik} = \frac{1}{2}Tr(U\sigma_i U^{\dagger}\sigma_k)$ . Как мы оправдываем обе эти карты?

Вальтер Моретти

Я впервые вижу это. Если вы уверены, что ваша карта

S U (2) ∋ U \mapsto R \in S O (3)

$SU(2) \ni U \mapsto R\in SO(3)$ сохраняет состав матриц и что его дифференциал посылает

i σ_{k} / 2

$i\sigma_k/2$ к

i L_{k}

$iL_k$ , поскольку он непрерывен, он должен совпадать с картой, которую я написал с помощью экспонент, поскольку существует ровно один гомоморфизм групп Ли, который расширяет гомоморфизм алгебр Ли. Кроме того, выражение, которое я предоставил для накрывающего гомоморфизма, есть два-один. Это потому, что, например,

e^{i (t_{3} + 2 π) L_{3}} = e^{i t_{3} L_{3}}

$e^{i (t_3 +2\pi) L_3} = e^{i t_3 L_3}$ но

e^{i (t_{3} + 2 π) σ_{3} / 2} = - e^{i t_{3} σ_{3} / 2}

$e^{i(t_3 + 2\pi) \sigma_3/2}= - e^{it_3 \sigma_3/2}$ .

Селена Рутли · Answer 2

Итак, я полагаю, вы прекрасно знаете, что большое A-присоединенное представление — это гомоморфизм, который вам нужен в данном случае, поэтому вы ищете более общий метод.

Кроме того, я предполагаю, что вы знаете, что гомоморфизм алгебр Ли может подняться до группового гомоморфизма только в том случае, если область гомоморфизма односвязна, и в этом случае существует уникальный групповой гомоморфизм с данным гомоморфизмом алгебры в качестве его отображения Ли . В этом случае мы в ясности, потому что $SU(2)$ просто подключен. Страница 73–76 из:

Энтони Кнапп, «Группы лжи за пределами введения»

тогда может вам помочь. Кнапп дает вам два метода систематического построения односвязной группы Ли: первый оставляет вас с дифференциальными уравнениями для левых/правых инвариантных векторных полей, второй, я считаю, такой же, как ответ В. Моретти .

Последний «метод» заключается в использовании теоремы Адо, которая гарантирует нам, что мы всегда можем реализовать алгебру Ли как матричную алгебру Ли; для этого есть даже явный программный алгоритм:

В. А. Де Грааф, "Построение достоверных матричных представлений алгебр Ли"

но если вы можете понять этот алгоритм, у вас получается лучше, чем у меня (эта статья до сих пор побеждала меня). Когда у вас есть матричная алгебра, вы можете использовать экспоненциальную матрицу для построения окрестности единицы, а точнее всей группы, если последняя компактна; как и в ответе В. Моретти, алгебра Ли не возводится в степень для всей группы для некомпактных групп (насколько мне известно, проблема того, что именно в некомпактной группе Ли может быть реализовано как экспонента элемента алгебры Ли, состоит в том, чтобы в какой-то степени все еще остается открытой проблемой).

Итак, имея группу Ли, вы в принципе можете построить универсальное покрытие с гомотопическими классами и выделить дискретный центр $\mathcal{Z}_d$ универсального покрытия. Ваша исходная группа будет иметь в качестве фундаментальной группы фактор-группу $\mathcal{Z}_d$ и одна из его (нормальных) подгрупп.

Де Грааф — мой коллега! Несколько дверей рядом с моей.
@V.Moretti Скажи ему, что я все еще время от времени берусь за его газету, но все равно сильно ушибся! Никакого пренебрежения к его способностям к техническому письму: фактическую реализацию алгоритма теоремы Адо передать нелегко, я, вероятно, не самая проницательная аудитория, и он (де Грааф), безусловно, проделал очень прекрасную работу.
Хорошо, я передам ему все, что вы написали. Пока
ссылки на ваши заметки кажутся мертвыми и теперь перенаправляют на какой-то очень схематичный/подлый веб-сайт

Как построить гомоморфизм групп Ли SU(2)→SO(3)SU(2)→SO(3)SU(2) \to SO(3) через изоморфизм алгебр Ли Λ:su(2)→so(3) )Λ:su(2)→so(3)\Lambda:{\frak su}(2)\to{\frak so}(3)?

пользователь35952

Гейдар

Qмеханик

пользователь35952

пользователь35952

Qмеханик

Ответы (2)

Вальтер Моретти

пользователь35952

Вальтер Моретти

пользователь35952

Вальтер Моретти

пользователь35952

Вальтер Моретти

пользователь35952

Вальтер Моретти

пользователь35952

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

пользователь35952

Вальтер Моретти

пользователь35952

Вальтер Моретти

Селена Рутли

Вальтер Моретти

Селена Рутли

Вальтер Моретти

ГЛС

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Зачем нам нужны сложные представления в Теориях Великого Объединения?

Существует ли общая теорема о том, почему экспоненциальное отображение ограниченной группы Лоренца сюръективно?

Симметрия E7(7)E7(7)E_{7(7)} в (N=8,d=4)(N=8,d=4)(\mathcal{N}=8, d=4) Супергравитация

Как получить матрицы Гелл-Манна?

Алгебра Ли простыми словами [закрыто]

Разница между группой Лоренца и группой Пуанкаре

Группы лжи и расширения групп?

Можем ли мы записать массу МММ, инвариант Казимира группы Галилея, как функцию ее образующих?

Почему алгебра Ли унитарной группы порождена матричными единицами?