Рассеивающие состояния атома водорода в нерелятивистской теории возмущений

Question

Рассеивающие состояния атома водорода в нерелятивистской теории возмущений

Физика
водород
рассеяние
гильбертово пространство
квантовая механика
теория возмущений

Эдвард Росс

При построении не зависящей от времени теории возмущений второго порядка в нерелятивистской квантовой механике необходимо вычислить перекрытие между состояниями

Е_{н}^{(2)} "=" \sum_{м \neq н} \frac{| ⟨ м | {ЧАС}^{'} | н ⟩ |^{2}}{Е_{н}^{(0)} - Е_{м}^{(0)}}

$E^{(2)}_n ~=~ \sum_{m \neq n}\frac{|\langle m | H' | n \rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$

(где $E^{(k)}_n$ представляет поправку k-го порядка к n-му уровню энергии).

Для водородного атома спектр гамильтониана состоит из дискретного набора, соответствующего «связанным состояниям» (состояния с отрицательной энергией), и континуума «состояний рассеяния» (состояний с положительной энергией).

Есть ли пример, когда перекрытие между связанным состоянием и состояниями рассеяния дает измеримый вклад в энергию в пертурбативном режиме? Должны ли состояния рассеяния включаться в пертурбативные расчеты? Есть ли экспериментальные результаты, подтверждающие это? (Например, возможно электрон-электронное взаимодействие в высоковозбужденных состояниях гелия).

Кстати, что «является» гильбертовым пространством атома водорода в позиционном представлении? Я часто читал, что основа собственных состояний гамильтониана атома водорода не является полной без состояний рассеяния, но я не видел убедительных аргументов в пользу этого. Я читал, что радиальные связанные состояния плотны в $L^2((0, \infty))$ (например, здесь ), поэтому, включая состояния рассеяния, гильбертово пространство должно строго содержать это.

Ответы (2)

Рассеивающие состояния атома водорода в нерелятивистской теории возмущений

Арнольд Ноймайер · Answer 1

Состояния рассеяния должны быть включены в пертурбативные расчеты, если результат должен быть очень точным. В частности, неправомерно игнорировать непрерывный спектр при энергиях, близких к порогу диссоциации.

Гильбертово пространство в позиционном представлении — это пространство функций, суммируемых с квадратом на $R^3\setminus\{0\}$ относительно внутреннего продукта

⟨ ф | ψ ⟩ "=" \int \frac{г Икс}{| Икс |} ф (Икс)^{*} ψ (Икс) .

$\langle\phi|\psi\rangle:=\int \frac{dx}{|x|}\phi(x)^*\psi(x).$ Сами по себе связанные состояния не плотны в этом пространстве.

Подробное рассмотрение спектра водорода см. в книгах
Г. Р. Гилмор, Группы Ли, Алгебры Ли и некоторые из их приложений, Wiley, 1974, Довер, 2002, стр. 427–430,
и
А. О. Барут и Р. Рачка, Теория групповых представлений. и приложений, 2-й. изд., Варшава, 1980. Глава 12.2.

Спасибо, это имеет смысл для меня. Связанные состояния полны на подпространстве функций, суммируемых с квадратом на $R^3 \setminus \{0\}$ относительно внутреннего продукта $\langle\phi|\psi\rangle:=\int dx\phi(x)^*\psi(x)$ а состояния рассеяния являются ортогональным дополнением этого подпространства в упомянутом вами гильбертовом пространстве. Хотя я удивлен, что $\frac{dx}{|x|}$ и не $\frac{dx}{|x|^2}$ .
Степень знаменателя на самом деле равна 1, а не 2. Этот сингулярный скалярный продукт важен для получения унитарного представления группы динамической симметрии. $SO(4,2)$ водорода.
Это очень странный внутренний продукт.
@Jiang-minZhang: Вы можете понять это, вернувшись к обычному внутреннему продукту путем преобразования волновых функций в $\bar\psi(x):=|x|^{-1/2}\psi(x)$ . Тогда вы получите стандартный внутренний продукт преобразованных волновых функций. Вместо этого теперь вам нужно беспокоиться о правильных граничных условиях на $x=0$ .

интересный · Answer 2

Ваш главный вопрос звучал так: «Есть ли пример, когда перекрытие между связанным состоянием и состояниями рассеяния вносит ощутимый вклад в энергию в пертурбативном режиме?»

На самом деле, я не согласен с утверждением другого ответа о том, что состояния рассеяния должны быть включены в пертурбативные расчеты только в том случае, если результат должен быть очень точным. В самом деле, что касается атома водорода, то, если взять в качестве простого примера пертурбативный потенциал $\epsilon/r$ , то на континуум второго порядка приходится ДВЕ ТРЕТИ общего вклада! Если вы возьмете $\epsilon/r^2$ , это даже 75%!

Другие примеры см. в следующих статьях:

Здесь вы можете видеть, что «вклад континуума в сумму иногда довольно велик, в крайних случаях составляя все, кроме нескольких процентов от общей суммы».
В качестве примера из учебника вы можете взглянуть на Шиффа (стр. 263-265), где эффект Штарка атома водорода разработан с континуальным вкладом.

Если вы заинтересованы, я могу предоставить вам больше материала.

Рассеивающие состояния атома водорода в нерелятивистской теории возмущений

Эдвард Росс

Ответы (2)

Арнольд Ноймайер

Эдвард Росс

Арнольд Ноймайер

Цзян-мин Чжан

Арнольд Ноймайер

интересный

Рассеяние против связанных состояний

Мотивация вероятностей перехода в квантовой механике

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Все ли состояния рассеяния ненормируемы?

Как мы можем обосновать ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)\psi(\textbf{r})\to\psi_{in}(\ textbf{r})+\psi_{sc}(\textbf{r}) при |r|→∞|r|→∞|\textbf{r}|\to \infty, но не при конечных |r||r| |\textbf{r}|?

Волновые функции и волновые пакеты

Неинтегрируемые волновые функции

Вопросы об эффекте Штарка на водороде

Проблема нормализации с волновой функцией водорода

Подразумевает ли теория возмущений первого квантования крупномасштабную паутину запутанности электронов?