Проблема нормализации с волновой функцией водорода

Question

Проблема нормализации с волновой функцией водорода

пользователь36636

Предположим, у вас есть смесь состояний, состоящая из водорода. $\lvert nlm \rangle$ состояния, в которых один из коэффициентов неизвестен. Например:

| ψ ⟩ "=" А | 100 ⟩ + \sqrt{\frac{2}{3}} | 210 > + \sqrt{\frac{2}{3}} | 211 ⟩ - \sqrt{\frac{2}{3}} | 21 - 1 ⟩

$\lvert \psi\rangle=A\lvert 100\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|210> + \sqrt{\frac{2}{3}}\lvert 211\rangle - \sqrt{\frac{2}{3}}\lvert 21-1\rangle$ Поскольку все волновые функции водорода

| n l m ⟩

$\lvert nlm \rangle$ ортонормированы, я предполагаю, что условие нормализации не работает для приведенного выше примера, поскольку

| А |^{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} "=" | А |^{2} + 2 > 1

$\lvert A\rvert^2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3} =\lvert A \rvert^2+2 > 1$ независимо от стоимости

A

$A$ . Даже если взять

A = i

$A=i$ (чисто мнимое) все равно нормализация не работает.

Я что-то упустил здесь? Можно ли нормализовать приведенную выше функцию с помощью конкретного выбора $A$ коэффициент?

Элли

Пожалуйста, рассмотрите возможность использования MathJax для уравнений и символов в будущем.

пользователь36636

Значит, я могу использовать Latex напрямую здесь, на Stackexchange, при написании уравнений? Я не знал. Спасибо за совет.

Зелдридж

Недавно я узнал, что вы даже можете определить \newcommand{\ket}[1]{| # 1 \rangle}, который полезен для набора текста QM.

Ответы (3)

Проблема нормализации с волновой функцией водорода

Пожалуйста, рассмотрите возможность использования MathJax для уравнений и символов в будущем.
Значит, я могу использовать Latex напрямую здесь, на Stackexchange, при написании уравнений? Я не знал. Спасибо за совет.
Недавно я узнал, что вы даже можете определить \newcommand{\ket}[1]{| # 1 \rangle}, который полезен для набора текста QM.

Зелдридж · Answer 1

Ответ заключается в том, что предпосылка неверна. Не может быть волновой функции водорода с написанными вами коэффициентами. Даже если бы не было $| 1 0 0 \rangle$ состояние присутствует, состояние не нормализовано. Это означает, что он не является физическим. Однако помните, что коэффициенты несколько произвольны, то есть нам разрешено умножать всю волновую функцию на некоторую константу. $C$ . Вот как мы нормализуем их в первую очередь. Итак, главное в вашем состоянии не $\sqrt{\frac{2}{3}}$ части, это тот факт, что все остальные коэффициенты одинаковы, имеют равную вероятность. Таким образом, вы можете написать что-то вроде

| ψ ⟩ "=" А | 100 ⟩ + Б | 210 ⟩ + Б | 211 ⟩ - Б | 21 - 1 ⟩

$\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle} \ket{\psi} =A\ket{100} + B\ket{210} + B\ket{211} - B\ket{21-1}$

| А |^{2} + 3 | Б |^{2} "=" 1 | А |^{2} "=" 1 - 3 | Б |^{2}

$|A|^2+3 |B|^2 =1 \\ |A|^2 = 1 - 3 |B|^2$ Итак, из этого вы можете увидеть состояние на

B

$B$ чтобы ваш пример имел смысл, нам нужно

| B |^{2} < 1 / 3

$|B|^2 < 1/3$ . (Мы можем получить отрицательный квадрат из мнимых чисел, но никогда не получим отрицательный абсолютный квадрат.) По сути, должна оставаться некоторая вероятность для другого состояния, которое вы хотите вставить. Дайте мне эту вероятность для трех других состояний, и я могу сказать вам величину другого, но я не могу сделать этого для состояния, которое вы указали.

Да, это также то, что я предположил в первую очередь, что должна быть некоторая константа, которая умножает всю исходную волновую функцию и делает ее «нормализуемой». Тем более, что текст этого требует далее вероятностей энергий, которые можно измерить. Но в данной функции отсутствует эта «общая» константа умножения для всех слагаемых, и в первую очередь требуется найти значение A, нормализующее исходную волновую функцию.
Подождите, это задача из учебника? Тогда это очень странно, поскольку кажется, что он достаточно плохо сформулирован, чтобы на него нельзя было ответить в той форме, которую вы дали.
Я не студент, я репетитор (довольно хорош в QM), и один из моих студентов (из Нью-Йорка) поиграл со мной в HW. Это был последний вопрос, и я просто предположил, что его профессор должен ошибаться, задавая этот вопрос, но мне нужно было второе мнение. Это не первый «странный» вопрос, который этот профессор задает своим студентам.

даное животное · Answer 2

Приведенное вами состояние не подлежит нормализации из-за результатов выполненных вами вычислений. Даже если первое состояние (с коэффициентом $A$ ) нет бы не нормализовалось. Чтобы нормализовать то, что вы дали, на другую константу нужно все перемножить (чтобы относительные пропорции были неизменными

Микушефски · Answer 3

Похоже на проблему гибридизации учебника, вы проверяли обычных подозреваемых или, например, этого ?

Проблема нормализации с волновой функцией водорода

пользователь36636

Элли

пользователь36636

Зелдридж

Ответы (3)

Зелдридж

пользователь36636

Зелдридж

пользователь36636

даное животное

Микушефски

Гильбертово пространство, удовлетворяет ли |r⟩|r⟩|r\rangle ⟨r|r⟩=1⟨r|r⟩=1\langle r |r\rangle = 1?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Что означает обозначение Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Как можно взять скалярное произведение состояний, принадлежащих двум разным гильбертовым пространствам?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Можем ли мы доказать это без явного вычисления?

Единицы дельта-функции Дирака в квантовой механике

Как доказать Tr[|α⟩⟨α|A^]=⟨α|A^|α⟩Tr[|α⟩⟨α|A^]=⟨α|A^|α⟩\mathrm{Tr}[| \alpha\rangle\langle\alpha|\шляпа{A}]=\langle\alpha|\шляпа{A}|\alpha\rangle

Норма квантового состояния в трех измерениях