Почему в лагранжиане есть производные только первого порядка?

Я воспроизвожу сообщение в блоге, которое я написал некоторое время назад:

Мы склонны не использовать теории высших производных. Оказывается, для этого есть очень веская причина, но эта причина редко обсуждается в учебниках. Возьмем, для конкретности,$L(q,\dot q, \ddot q)$, лагранжиан, который существенно зависит от 2-й производной. Несущественными зависимостями являются такие термины, как$q\ddot q$которые могут быть частично интегрированы, чтобы дать${\dot q}^2$. Математически это выражается в необходимости инвертировать выражение

$$P_2 = \frac{\partial L\left(q,\dot q, \ddot q\right)}{\partial \ddot q},$$ и получите закрытую форму для$\ddot q (q, \dot q, P_2)$. Обратите внимание, что обычно мы также требуем аналогичного утверждения для$\dot q (q, p)$, и неудача в этом отношении является признаком наличия системы с ограничениями, возможно, с калибровочными степенями свободы.

В любом случае невырождение обычным образом приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа:

$$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot q} = 0.$$ Тогда это четвертый порядок в$t$, и поэтому требуют четырех начальных условий, таких как$q$,$\dot q$,$\ddot q$,$q^{(3)}$. Это в два раза больше, чем обычно, и поэтому мы можем получить новую пару сопряженных переменных, когда перейдем к гамильтонову формализму. Мы следуем шагам Остроградского и выбираем наши канонические переменные как$Q_1 = q$,$Q_2 = \dot q$, что приводит к $$\begin{align} P_1 &= \frac{\partial L}{\partial \dot q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \ddot q}, \\ P_2 &= \frac{\partial L}{\partial \ddot q}. \end{align}$$ Заметим, что невырожденность позволяет$\ddot q$быть выражено в терминах$Q_1$,$Q_2$а также$P_2$через второе уравнение, а первое необходимо только для определения$q^{(3)}$.

Затем мы можем действовать обычным образом и найти гамильтониан с помощью преобразования Лежандра:

$$\begin{align} H &= \sum_i P_i \dot{Q}_i - L \\ &= P_1 Q_2 + P_2 \ddot{q}\left(Q_1, Q_2, P_2\right) - L\left(Q_1, Q_2,\ddot{q}\right). \end{align}$$ Опять же, как обычно, мы можем взять производную гамильтониана по времени, чтобы найти, что он не зависит от времени, если лагранжиан не зависит от времени явно и, таким образом, может быть идентифицирован как энергия системы.

Однако теперь у нас есть проблема:$H$имеет только линейную зависимость от$P_1$, и поэтому может быть произвольно отрицательным. Во взаимодействующей системе это означает, что мы можем возбуждать моды с положительной энергией, передавая энергию мод с отрицательной энергией, и при этом мы увеличивали бы энтропию — просто было бы больше частиц, а значит, нужно было бы их куда-то поместить. Таким образом, такая система никогда не сможет достичь равновесия, мгновенно взорвавшись в оргии рождения частиц. Эта проблема на самом деле является совершенно общей и аналогичным образом применима к более высоким производным.

Отличный вопрос, на который я так и не нашел полностью удовлетворительного ответа. Но подумайте вот о чем: в элементарной классической механике одним из основных законов является второй закон Ньютона,$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$, которая связывает силу, действующую на объект, с ускорением объекта. Теперь большинство сил воздействует одним конкретным объектом на другой конкретный объект, и значение силы зависит только от положения исходного и «целевого» объектов. В сочетании со вторым законом Ньютона это означает, что в классической системе с$N$объекты, каждый из которых подчиняется уравнению вида

$$\ddot{\mathbf{x}}_i = \mathbf{f}(\{\mathbf{x}_j|j\in 1,\ldots,N\})$$

куда$\mathbf{f}$— некоторая вектор-функция. Суть этого уравнения в том, что если у вас есть положения всех объектов, вы можете вычислить ускорения всех объектов.

Взяв производную от этого уравнения, вы получите

$${\dddot{\mathbf{x}}}_i = \mathbf{f'}(\{\mathbf{x}_j\})\{\dot{\mathbf{x}}_j\}$$

(Здесь я немного ошибаюсь в обозначениях ;p) Это позволяет вам вычислить рывок (третью производную), используя позиции и скорости. И вы можете повторить эту процедуру, чтобы получить формулу (хотя бы в каком-то абстрактном смысле) для любой высшей производной. Проще говоря, поскольку второй закон Ньютона связывает функции, производные которых различаются на два порядка, вам нужны только 0-я и 1-я производные, положение и скорость, чтобы «запустить» процесс, после чего вы можете вычислить любую высшую производную, какую только захотите. хотите, а от того любую физическую величину. Это аналогично (и на самом деле тесно связано) с тем фактом, что для решения дифференциального уравнения второго порядка вам нужны только два начальных условия: одно для значения функции и одно для ее производной.

В других областях физики история усложняется, но тем не менее, если вы посмотрите на большинство из них, вы обнаружите, что фундаментальное уравнение эволюции связывает значение некоторой функции с ее первой и второй производной, но не выше. Например, в квантовой механике есть уравнение Шрёдингера,

$$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + U(x)\Psi$$

или в квантовой теории поля уравнение Клейна-Гордона,

$$-\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} - m^2\phi = 0$$

и другие, или уравнения Максвелла (эквивалентно волновое уравнение, которое может быть получено из них) в классическом электромагнетизме. В каждом случае вы можете использовать аналогичный аргумент, чтобы хотя бы мотивировать тот факт, что только положение или его эквивалентное поле и его первая производная достаточны для описания всего состояния системы.

Конечно, вы все еще можете задаться вопросом , почему уравнения, описывающие Вселенную, связывают функции, которые различаются только двумя производными, а не тремя или четырьмя. Эта часть является загадкой, но относится к сфере философии, а не физики.

Имеются последствия для причинно-следственной связи, когда уравнение движения содержит более высокие, чем вторые, производные полей, ЭМ-излучение заряженных тел превышает производную ускорения

я не знаю подробностей ПОЧЕМУ, но эта книга должна дать более подробную информацию: (причинно-следственные связи и дисперсионные отношения) http://books.google.com/books?id=QDzHqxE4anEC&lpg=PP1&dq=causality%20дисперсион%20relations&pg=PP1#v =одна страница&q&f=false

Существуют формулировки, включающие производные более высокого порядка, однако вы дали верную характеристику.

Я думаю, что эмпирическое правило будет заключаться в том, чтобы начать искать самый простой лагранжиан, который вы можете придумать. В общем случае хороший лагражиан должен подчиняться однородности пространства, времени и изотропии пространства, что означает, что он не может явно содержать положение, время и скорость$\vec{v}$, соответственно. Тогда простейшая допустимая возможность — это иметь лагранжиан с квадратом скорости. Поскольку нам не нужно искать дополнительные условия для выполнения, нет необходимости добавлять термины, включающие высшие производные или комбинации других терминов.

Вы можете увидеть эту процедуру в действии (на самом деле довольно много раз) в книге Ландау и Лифшица «Классическая теория поля».

Что ж, обычная физика в классической механике формулируется в терминах дифференциальных уравнений второго порядка. Если вы знакомы с процессом вывода уравнений Эйлера-Лагранжа из лагранжиана, то должно быть естественным, что кинетический член должен быть пропорционален$(\partial_t x)^2$воспроизвести это.

Если бы вы рассмотрели более общие лагранжианы (на что вы, безусловно, вольны), вы бы получили сколь угодно сложные уравнения движения, но они не соответствовали бы ничему физическому. Тем не менее, некоторые из этих уравнений могут описывать некоторые математические объекты (поскольку лагранжев формализм и вариационное исчисление присущи не только физике, но и множеству других математических дисциплин).

Этот вопрос на самом деле требует двухэтапного ответа:

1. Почему лагранжиан имеет производные только первого порядка?:

Лагранжиан был определен таким образом, чтобы решаемая задача давала производную второго порядка по времени при построении уравнения Эйлера-Лагранжа. Он включает в себя неявный вывод импульса (обратите внимание на производную по времени после знака минус в$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}=0$), что, в свою очередь, является производной первого порядка от положения. Это означает, что об ускорении действительно заботятся, когда настраивается полная задача. В этом можно убедиться, просто проверив, что для большинства случаев уравнение Эйлера-Лагранжа просто превращается в$\frac{\partial L}{\partial q}-m \ddot q=0$и если определить$\frac{\partial L}{\partial q}=F$это становится вторым законом Ньютона. Сказав это, нам нужно перейти к следующему шагу, а именно,

2. Почему рывок (или любая более крупная производная по времени) не нужен?:

На этот вопрос уже был дан ответ (в том числе и мной) здесь Почему$F=ma$и не$F=m \dot a$. Краткий ответ таков: «… производная второго порядка — это все , что нужно, чтобы отличить естественные состояния движения от затронутых состояний движения ».

Если мы допустим, скажем, вторую производную в лагранжиане, уравнения Эйлера-Лагранжа, которые минимизируют действие

$$A[q] = \int_{x_1}^{x_2} L(x,q,q',q'')\, dx$$

было бы

$$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial q'} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial q''} = 0$$

Это дифференциальное уравнение четвертого порядка. Однако этого не может быть, поскольку мы уже знаем, что$q''=F/m$, т.е. ускорение определяется Силой, находящейся «вне» начальных условий. В гравитационном силовом поле, например, вы знаете, а piori, силы в каждой точке системы, а значит, и ускорение в каждой точке системы уже известны. DE четвертого порядка приведет к внутренней несогласованности.

Более глубокий вопрос, который следует задать, я полагаю, заключается в том, почему$F=mq''$, нет$F=mq'''$или же$F=mq''''$. Не буду притворяться, что знаю ответ на этот вопрос, но подозреваю, что он может быть.