Различия между принципами QM и QFT

Существуют различные более или менее формальные способы выражения основополагающих принципов нерелятивистской квантовой механики, включая как нематематические формулировки, так и более строгие аксиоматизации. Недавно были разные люди, которые рассматривали это с точки зрения квантовых вычислений. Другие исследовали, можно ли согнуть QM, не сломав его. Я дал несколько ссылок внизу этого вопроса на некоторые работы такого рода.

Но если говорить более конкретно, я думаю, что большинство физиков сочли бы нижеследующее своего рода консенсусом по неофициальному списку принципов. (На самом деле, я был бы рад услышать критику этого списка.)

  1. Фундаментализм волновой функции . Вся известная информация о системе закодирована в ее волновой функции (без учета фазы и нормализации).
  2. Унитарная эволюция волновой функции . Волновая функция развивается во времени детерминированным и унитарным образом.
  3. Наблюдаемые . Любая наблюдаемая представлена ​​эрмитовым оператором.
  4. Внутренний продукт . Существует билинейный положительно определенный скалярный продукт волновых функций.
  5. Полнота . Для любой интересующей системы существует набор совместимых наблюдаемых, так что любое состояние системы может быть выражено как сумма собственных состояний.

Вопрос: Нужно ли модифицировать это краткое изложение принципов для QFT? Если да, то как? Если нет, то в чем основное различие между этими двумя теориями?

использованная литература

Капустин, https://arxiv.org/abs/1303.6917

Макки, Математические основы квантовой механики, 1963, с. 56ff

Ааронсон, «Является ли квантовая механика островом в теоретическом пространстве?», http://arxiv.org/abs/quant-ph/0401062 .

Масанес и Мюллер, «Вывод квантовой теории из физических требований», https://arxiv.org/abs/1004.1483 .

Харди, «Квантовая теория из пяти разумных аксиом», https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012.

Дакич и Брукнер, «Квантовая теория и не только: является ли запутанность особенным?», https://arxiv.org/abs/0911.0695 .

Бэнкс, Сасскинд и Пескин, «Трудности эволюции чистых состояний в смешанные состояния», Nuclear Physics B, Volume 244, Issue 1, 24 сентября 1984 г., страницы 125–134.

Николич, «Нарушение унитарности излучением Хокинга не нарушает закон сохранения энергии-импульса», https://arxiv.org/abs/1502.04324 .

Унру и Вальд, https://arxiv.org/abs/hep-th/9503024

Эллис и др., «Поиск нарушения квантовой механики», Nucl Phys B241 (1984) 381.

Гизин, «Нелинейная квантовая механика Вайнберга и сверхсветовая связь», http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(90)90786-N , Physics Letters A 143(1-2):1-2

Себенс и Кэрролл, «Неопределенность самоопределения и происхождение вероятности в квантовой механике Эверетта», https://arxiv.org/abs/1405.7577

Что, если бы я сказал вам, что все эти принципы точно такие же для КТП, за исключением того, что вы должны заменить «волновую функцию» более абстрактным «состоянием в гильбертовом пространстве» (или «волновым функционалом», если вы действительно являетесь поклонником волн)? То есть откуда конкретно взялось убеждение, что КТП чем-то отличается по своим фундаментальным принципам от КМ? Мне кажется, единственная разница в том, что «КМ» обычно имеет конечное число степеней свободы, а КТП — нет.
@ACuriousMind: Этот комментарий звучит так, будто его можно расширить до прекрасного ответа...! Мне кажется, единственная разница в том, что «КМ» обычно имеет конечное число степеней свободы, а КТП — нет. Но я должен признать, что был озадачен этим заявлением. Нерелятивистская частица в ящике имеет бесконечно много степеней свободы?
Связано: physics.stackexchange.com/q/227056/50583 (по крайней мере, мой ответ есть то, что я бы тоже написал здесь)
Предполагается, что современная релятивистская квантовая теория поля следует всем основным принципам квантовой теории, и ее можно рассматривать как подмножество квантовой теории. С другой стороны, для взаимодействующей релятивистской квантовой теории поля в 3+1 измерениях не существует математически строгих определений гильбертова пространства состояний и наблюдаемых как операторов. Таким образом, формализм в конечном итоге выглядит совершенно по-другому, разложения возмущений становятся основой теории, а не методом получения приближенных результатов из фиксированной математической модели, как это обычно бывает в квантовой механике.
Я предпочитаю «функцию состояния» или даже «вектор состояния» «волновой функции», когда говорю о квантовой механике в целом, потому что «волновая функция» всегда напоминает мне, в частности, картину Шредингера.
@АдомасБалюка; Похоже, это можно было бы расширить до хорошего ответа. Поскольку я ничего не знаю о QFT, мне было бы полезно получить более конкретное представление о том, о чем вы говорите.
@BenCrowell Нерелятивистская частица в коробке имеет три степени свободы. Для подсчета степеней свободы нужно посчитать, сколько пар Икс я , п я у нас есть операторы, которые удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, [ Икс я , п Дж ] знак равно я ℏ дельта я Дж . Для частицы в ящике я знак равно 1 , 2 , 3 так что есть три d.of. Вместо поля мы имеем [ ф , п ф ] знак равно я ℏ дельта ( Икс − Икс ′ ) -- индекс теперь принимает бесконечно много значений, поэтому степень свободы бесконечна. Существует бесконечно много собственных состояний энергии, но это не то же самое, что число степени свободы. Любое классическое фазовое пространство
также содержит бесконечно много точек. Обратите внимание, что квантовый и классический случаи полностью аналогичны, если вы поменяете коммутаторы скобками Пуассона: для классического подсчета степеней свободы вы должны подсчитать, сколько функций на фазовом пространстве можно проверить { д я , п я } знак равно дельта я Дж . Рассмотрим также теорему о равнораспределении: если бы частица в ящике имела бесконечно много степеней свободы, какой была бы теплоемкость идеального газа?
@ACuriousMind Существует представление «Q-пространства» (скалярной бозонной) КТП, в котором состояние представляет собой волновую функцию в бесконечномерном пространстве.

Ответы (4)

  1. Вся известная информация о системе закодирована в луче в гильбертовом пространстве. В КТП, в отличие от нерелятивистской КМ, нет | Икс ⟩ основе, поэтому вы не можете построить волновую функцию ф ( т , Икс ) знак равно ⟨ Икс | ф ( т ) ⟩ кодировать эту информацию. Что вы можете сделать, так это закодировать эту информацию в так называемых корреляционных функциях (см . теорему реконструкции Вайтмана ). Вам нужно бесконечное количество функций для кодирования всей информации системы. Эквивалентно, эту же информацию можно закодировать в одном функционале либо через функциональный интеграл, либо как волновой функционал (см . 214-552 ).

  2. Это не изменилось, за исключением, возможно, того факта, что обычно гораздо удобнее развивать операторы вместо состояний, потому что проявляется ковариантность. Абстрактное уравнение Шредингера, д д т | ψ ⟩ знак равно − я ЧАС | ψ ⟩ справедливо как в нерелятивистской КМ, так и в КТП (как и уравнение Гейзенберга, А ˙ знак равно я [ ЧАС , А ] ). В этом смысле эволюция по-прежнему унитарна, но выражается в терминах операторов, а не состояний.

  3. Это без изменений.

  4. Это не изменилось, за исключением, возможно, того факта, что иногда бывает удобно искусственно расширить гильбертово пространство, чтобы включить «состояния отрицательной нормы», то есть скалярный продукт релаксируется в полуторалинейную форму (что согласуется с положительно определенным «истинный» внутренний продукт в «истинном» физическом гильбертовом пространстве).

  5. Это без изменений.

Итак, если я заменю «волновую функцию» на «вектор состояния», смогу ли я оставить все без изменений (игнорируя вопросы удобства)?
Да. Чтобы быть более точным, вы должны говорить о лучах , а не о векторах состояния (потому что, как вы уже знаете, фаза вектора не имеет значения).
Небольшой терминологический вопрос. Физическому состоянию соответствует элемент проективного гильбертова пространства: класс эквивалентности векторов в гильбертовом пространстве, отличающихся постоянным кратным числом, — другими словами, одномерное подпространство гильбертова пространства. Не было бы более естественным называть их «линиями» в гильбертовом пространстве, а не «лучами»? В конце концов, измеряя глобальные U ( 1 ) симметрия приводит к сложному линейному пучку (не «лучевому пучку») КЭД, а проективное пространство часто в общих чертах называют «набором линий [не лучей], проходящих через начало координат».
@tparker хороший вопрос. Я действительно не знаю ответа. Причина может заключаться в том, что «он исключает 0 , и, следовательно, является «лучом», исходящим из источника». Или, возможно, это понятие было введено кем-то из неанглоязычной страны, и «луч» был буквальным переводом. Мы могли бы в конечном итоге спросить об историческом происхождении имя по истории науки и математики.Я дам вам знать.
Это действительно может быть причиной, но если так, то это не очень хорошая причина. По аналогии, зачем р ∖ { 0 } быть больше похожим на луч, чем на линию?

Квантовая теория поля — это квантовая механика, применяемая к лоренцево-ковариантным причинным системам. То есть квантовая теория поля — это просто квантовая механика плюс специальная теория относительности. Требование лоренцевской ковариации и причинности ограничивает системы, о которых вы можете говорить. Например, кристаллическая решетка полностью нарушает симметрию Лоренца, так что это исключено.

Системы, о которых можно говорить, на самом деле состоят из лоренц-ковариантных локальных квантовых полей. В основном это сообщение первых 250 страниц « Квантовой теории поля » Вайнберга . Вот начало главы 2:

Точка зрения этой книги состоит в том, что квантовая теория поля является такой, какая она есть, потому что (с некоторыми оговорками) это единственный способ примирить квантовую механику со специальной теорией относительности. [...] Во-первых, хорошие новости: квантовая теория поля основана на той же квантовой механике, которая была изобретена Шредингером, Гейзенбергом, Паули, Борном и другими в 1925-26 годах и с тех пор используется в атомных, молекулярных , ядерная физика и физика конденсированного состояния. [...] [T] в этом разделе представлено лишь самое краткое изложение квантовой механики [...]

(i) Физические состояния представлены лучами в гильбертовом пространстве. [...]

(ii) Наблюдаемые представлены эрмитовыми операторами. [...]

Они — в полной форме в книге — более или менее охватывают ваши пункты с 1 по 5.

Я также рекомендую выступление Вайнберга « Что такое квантовая теория поля и что мы о ней думаем?»

Я думаю, что на педагогическом уровне представление о квантовой теории поля как о чем-то отличном от квантовой механики, а не только о ее подмножестве, может иметь какое-то отношение к тому, что учащиеся сначала сталкиваются с уравнением Шредингера в неправильной форме. Уравнение Шредингера принципиально не является УЧП в реальном пространстве. Это ОДА в гильбертовом пространстве. Соответственно, следует начинать не с волновых функций, а с векторов состояний, как указывали другие ответы и комментарии.

Например, кристаллическая решетка полностью нарушает симметрию Лоренца, так что это исключено. Это кажется мне неправильным. Лоренц-инвариантность — это инвариантность законов физики. Она не нарушается только потому, что физическому состоянию системы не хватает этой симметрии.
@BenCrowell да, кристалл - это состояние, нарушающее симметрию теории инвариантов Лоренца. Я имею в виду, что гамильтониан, описывающий возмущения вокруг этого состояния — на жаргоне низкоэнергетическая эффективная теория поля — не является лоренц-ковариантным, так что это не та система, которая нас интересует как явно релятивистская теория. Я использую его как пример лоренц-инвариантности, ограничивающей гамильтонианы, которые мы можем использовать. Тогда возникает вопрос, как построить те, которые мы можем использовать. Мы не можем использовать обычные x,p-операторы, потому что они являются 3-векторами. Классически мы используем тензорные поля Лоренца, каждое из которых
составной частью которого является число. В КМ мы должны выяснить, как группа Лоренца действует в гильбертовом пространстве, и исходить из этого. Пропуская 200 страниц Вайнберга, оказывается, что способ гарантировать лоренц-инвариантную теорию состоит в том, чтобы построить ее из локальных произведений каузальных квантовых полей, каждая компонента которых является оператором.
«Уравнение Шредингера, по сути, не является УЧП в реальном пространстве. Это ОДУ в гильбертовом пространстве». это реально круто, спасибо :)

Все эти постулаты остаются в силе в релятивистской КТП, за исключением того, что оператор временной эволюции больше не определяется уравнением Шрёдингера с нерелятивистским гамильтонианом.

Единственное, что требует существенной новой проработки в релятивистском контексте, — это существование внутреннего продукта. В неабелевой калибровочной теории часто полезным вычислительным трюком является формальное расширение вашего гильбертова пространства до большего пространства состояний, которое включает «призраков» с отрицательной нормой. Такое пространство состояний больше не является гильбертовым пространством, потому что его полуторасимметричная билинейная форма больше не является положительно определенной и, следовательно, больше не является скалярным произведением. Но ключевой момент в том, что вам никогда не придется вводить призраков; они всего лишь полезный расчетный трюк, но физически не существуют. Вы всегда можете сделать любой расчет, не вызывая призраков; Смотрите здесь .

QFT - это просто QM...

Чтобы расширить комментарий Адомаса Балюки: все КТП, которые мы знаем, как построить математически строгим образом , действительно выполняют ваши 5 аксиом. Как хорошо резюмировано в ответе AccidentalFourierTransform, различия со стандартной квантово-механической формулировкой отдельной частицы больше заключаются в физической интерпретации вектора состояния и в виде наблюдаемых, которые вы можете определить в своем гильбертовом пространстве (например, вы будете измерять количество частиц в данной области пространства, а не измерение положения данной частицы ).

Кроме того, вы можете ограничить термин КТП квантовыми теориями, которые удовлетворяют дополнительным аксиомам помимо основных КМ, таким как локальность, причинность, (локальная) лоренц-инвариантность...

... или какое-то подходящее их обобщение?

Но в любом случае важно иметь в виду, что КТП, которые мы умеем строить, не так уж и много : свободные поля в любом измерении, полиномиально взаимодействующие поля в измерениях 1+1 и 2+1, пара других взаимодействующие теории в малых измерениях, некоторые топологические теории (т. е. теории, которые на первый взгляд выглядят как теории поля, но, как оказалось, имеют только конечное число истинных физических степеней свободы),... Есть много КТП, которые мы хотели бы построить но не знаю как, поэтому в математической физике остается открытым вопрос, какой должна быть «правильная» аксиоматическая структура для выполнения КТП.

В частности, аксиомы, о которых вы просите, скорее всего, не нарушаются, по крайней мере, для КТП на искривленном, нестатическом пространстве-времени: там, возможно, уже невозможно придумать гильбертово пространство, в котором эволюцию времени можно было бы представить как унитарное трансформация. Происходит следующее: когда вы пытаетесь записать эволюцию, вы обнаруживаете, что она выбрасывает вас из вашего гильбертова пространства; Таким образом, вам может потребоваться несколько ослабить определение того, что такое «состояние» вашей квантовой теории, чтобы гарантировать, что все состояния остаются действительными состояниями по мере их эволюции во времени.

Предложением для более общего понятия квантовых состояний являются так называемые алгебраические состояния (см., например, этот мой ответ для элементарного введения). Их можно рассматривать как естественное математическое обобщение смешанных состояний (также известных как матрицы плотности). Обратите внимание, что даже в контексте конечного числа степеней свободы существуют аксиоматизации квантовой механики, в которых смешанные состояния являются фундаментальным объектом, а не второстепенным, как в стандартном формализме. Например, так обстоит дело в так называемом подходе «обобщенных теорий вероятностей» , цель которого состоит в том, чтобы заново вывести квантовую механику из самых основных предположений о процессах измерения.

Различия между принципами QM и QFT
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v