Сопряженное представление в su(2)su(2)\mathfrak{su}(2)

Ченг и Ли ставят следующую задачу:

Позволять ψ 1 и ψ 2 быть основаниями для представления со спином 1/2 с ты ( 2 ) а для диагонального оператора Т 3 ,

Т 3 ψ 1 знак равно 1 2 ψ 1 Т 3 ψ 2 знак равно − 1 2 ψ 2
Каковы собственные значения Т 3 действующий на ψ 1 * и ψ 2 * в сопряженном представлении ?

Первоначально я думал, что эта проблема тривиальна, просто возьмите комплексное сопряжение обеих сторон и используйте тот факт, что Т 3 реально ценится, чтобы получить это Т 3 ψ 1 * знак равно 1 2 ψ 1 * , но это неправильно.

Если мы начнем с произвольного преобразования ψ я ′ знак равно U я Дж ψ Дж и комплексно сопряженные обе части, мы получаем ψ ′ я * знак равно U я Дж * ψ Дж * . Но для бесследовых эрмитовых матриц, таких как U , существует С е с ты ( 2 ) такой, что С − 1 U С знак равно U * , и так, записывая предыдущее уравнение в матричной форме:

ψ ′ * знак равно ( С − 1 U С ) ψ * ⟹ С ψ ′ * знак равно U ( С ψ * )
Так С ψ * трансформируется как ψ . Оказывается, что в представлении Паули С знак равно я о 2 , и так:
Т 3 ( ψ 2 * − ψ 1 * ) знак равно ( 1 / 2 0 0 − 1 / 2 ) ( ψ 2 * − ψ 1 * )

Чего я не понимаю, так это почему мы не можем просто взять комплексное сопряжение обеих сторон? Это количество ψ * не традиционное «алгебраическое» комплексное сопряжение ψ ? Если да, то почему мы можем комплексно сопряженные ψ я ′ знак равно U я Дж ψ Дж получить ψ * ? Я чувствую, что думал, что понял сопряженное представление, но я явно не понимаю, и я был бы признателен за любую помощь в его понимании.

Вы смотрели на определение сопряженного представления?
Связанный метавопрос: meta.physics.stackexchange.com/q/6206/2451

Ответы (1)

Чего я не понимаю, так это почему мы не можем просто взять комплексное сопряжение обеих сторон?

Посмотрите на алгебру Ли, которой должны удовлетворять все представления,

[ Т Дж , Т к ] знак равно я ϵ Дж к м Т м .
Все образующие эрмитовы, а структурные константы вещественны, поэтому эта алгебра инвариантна относительно эрмитова сопряжения. Он также инвариантен относительно преобразований подобия Т Дж ↦ С − 1 Т Дж С , которые обеспечивают полезные изменения базиса.

Теперь пропустите транспонирование и вместо этого просто комплексное сопряжение,

[ Т Дж * , Т к * ] знак равно − я ϵ Дж к м Т м * .

У вас есть представление об алгебре? Не совсем, так как разница в правом знаке портит бульон - это не совсем та же алгебра.

Но ждать, − Т Дж * действительно обеспечивают представление алгебры. Более того, к счастью, − Т Дж * знак равно С − 1 Т Дж С , так что это оказывается просто оригинальной репрезентацией в другом базисе! Собственные векторы перемещались и видоизменялись, поэтому одни и те же собственные значения просто меняются местами. Я предполагаю, что вы научились находить S для основного повторения, так как вы уже использовали его, переворачивая свой дублет ψ и вводя предпочтительный знак — вот что о 2 делает.

Теперь рассмотрим собственные значения. Собственные значения Т 3 всегда в паре, ± , для всех представлений (всех спинов); и, кроме того, все образующие могут быть повернуты по подобию к Т 3 . Таким образом , S всегда существует и просто перемешивает собственные значения: все повторения действительны.

  • Небольшое замечание: возможно, вы будете встревожены тем, что − а * ∼ а ситуацию можно было бы назвать «реальной», когда она чисто воображаемая. Но чистое воображаемое всего лишь в i раз реально. Это всего лишь артефакт «физического» выбора соглашения об алгебре Ли с i перед реальной структурной константой в реализации с эрмитовыми, а не реальными генераторами. (Присоединенное представление состоит из i умножения реальных структурных констант, поэтому С знак равно 1 1 . В классической механике бакалавриата «Декартов базис» нормализуется i s, чтобы получить настоящие антисимметричные генераторы.) Так что ничтожный знак минус не имеет большого значения.

Это хорошая вещь". Если вы посмотрите на антикоммутатор двух образующих, как указано выше, и снова комплексно сопряженный, если бы в правой части за единицей был неисчезающий так называемый d -коэффициент , эрмитичность потребовала бы отсутствия i , и поэтому − Т Дж * не будет удовлетворять тому же антикоммутационному соотношению... не будет такого сохраняющего его S.

Таким образом, для этих реальных представлений d обращается в нуль (и коэффициенты аномалии, основанные на этих d s , также равны нулю для всех представлений SU (2)).

Это не совсем так для больших SU(N), так как не все их представления реальны. (Вы можете проиллюстрировать это, взглянув на собственные значения, например, основных генераторов повторений SU (3), матриц Гелл-Манна. Подсказка: являются собственными значениями λ 8 ± -парные, как указано выше?) Но, как вы можете видеть при просмотре, присоединенное представление всегда является действительным ( i раз превышает реальные структурные константы; и вы можете знать, как его собственные значения спарены).

  • «Академическое отступление» : правило сопряжения для дублета, которое вы проиллюстрировали, ( ψ 1 , ψ 2 ) ↦ ( ψ 2 * , − ψ 1 * ) , особенно удачлив в сложном хиггсовском дублете EW SM. Это позволяет вам записать его компактно как
    ( ( в + час ) 1 1 + я π → ⋅ т → ) ( 0 1 )   ,
    на котором его сопряжение есть всего лишь
    ( ( в + час ) 1 1 + я π → ⋅ т → ) ( 1 0 )   ,
    существенной полезности при анализе симметрии SM в хранении.
Сопряженное представление в su(2)su(2)\mathfrak{su}(2)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v