Почему ОТО не нуждается в более высоком измерении для описания искривления пространства-времени?

Во-первых, внутренняя кривизна и внешняя кривизна не совпадают. Когда вы сгибаете лист бумаги, например, в цилиндр, он приобретает внешнюю кривизну, но геометрия на бумаге не изменяется (углы в треугольнике, длина окружности и т. д.), поэтому он не приобретает внутреннюю кривизну.

Возможно , математически встроить пространство-время в более высокие измерения. По крайней мере, шесть измерений необходимы, включая два измерения времени, даже для простых случаев, для которых у нас есть решения, но для самых общих решений может потребоваться гораздо больше измерений. Это было бы сложно как с концептуальной, так и с математической точки зрения (большинство людей считает, что математика гтп уже достаточно сложна!), и это физически неоправданно, потому что нет никаких других измерений, в которые можно было бы согнуть пространство-время.

Внутреннее искривление нетрудно понять (по крайней мере, концептуально), и оно не нуждается в концепции искривления в более высокие измерения. Это можно понять так же, как вы видите кривизну Земли на плоской карте, через локальные масштабные искажения карты. Вот карта вселенной с положительной кривизной. Центральная галактика не искажена, но большее искажение видно дальше от центра (диаграммы из « Структуры неба» подробнее объясняются без математики в «Большом и малом »).

Вы можете «отменить» масштабные искажения на этой карте, нанеся ее на сферу, показав, что карта будет одинаковой, какую бы галактику вы ни выбрали в качестве центра.

Обратите внимание, что сфера не имеет физического смысла. Это просто способ рисования карты. Мы также можем рисовать карты расширяющегося пространства-времени, вот так. Галактики не становятся больше, но расстояния между ними становятся больше.

Можно использовать другие карты. Этот точно такой же, но вместо того, чтобы вселенная казалась расширяющейся, галактики становились меньше.

Все вопросы, на которые ОТО хочет ответить, связаны с измерениями, которые вы можете проводить в пространстве-времени. Все, что вы можете сделать, это измерить расстояния, углы и прошедшее время. Если вы не можете измерить расстояние через 4-е пространственное измерение, то вам все равно, как именно наше пространство-время встроено в это пространство-время более высокого измерения. Все, что вам нужно знать, это расстояния, углы и пройденное время. Все они строго определены в нашем четырехмерном пространстве-времени.

Посмотри на эту картинку:

Кролик состоит из множества точек и линий, соединяющих соседние точки, что создает треугольники. Каждый треугольник сообщает вам, каковы расстояния и углы между соседними точками. На самом деле, знания длины каждой линии на картинке достаточно, чтобы ответить на любой вопрос о геометрии, который мог бы задать какой-нибудь двумерный физик, живущий на этом кролике (конечно, в действительности должно быть бесконечное количество бесконечно маленьких треугольников). И нашему физику не нужно заботиться о 3-м измерении, ему нужно знать только расстояния в своем 2D-пространстве.

Тогда вопрос только в том, как кодифицировать это знание как можно лучше. Математики придумали для этого две очень важные машины - метрику и тензор кривизны Римана, который можно вычислить из метрики.

В вашем первом примере, когда вы сгибаете лист бумаги, спросите себя, какие изменения вызывает изгиб при измерениях, ограниченных самим листом? Если вы превратите его в треугольники, углы останутся прежними и расстояния тоже. Таким образом, изгиб, который вы показали, на самом деле вообще не изгибает геометрию бумаги. Вы только что создали внешнюю кривизну, но эта кривизна недоступна с бумаги. Кто-то, живущий на бумаге, думает, что она все такая же плоская, как и прежде.

Затем вы можете растянуть бумагу, и это, безусловно, изменит нарисованные треугольники. Но это не по-прежнему будет искривлять геометрию. Натянутая бумага такая же плоская, как и не натянутая. Треугольники изменились, но по-прежнему подчиняются евклидовой геометрии. Вы можете просто рассматривать свою деформацию как простую перерисовку треугольников (давайте на время забудем о глобальных свойствах и сосредоточимся только на небольшой окрестности некоторой точки бумаги). Когда вы рисуете круг, его окружность будет$2\pi r$, где$r$радиус.

Только после того, как вы деформируете бумагу таким образом, что математические формулы средней школы не сработают, вы создадите внутреннюю кривизну. Возьмем, к примеру, сферу:

Внезапно окружность синего круга не$2\pi r$. Это$2 \pi a$, но физик, живущий на сфере, не может измерить это$a$. Он думает$r$это радиус, и, таким образом, он узнает, что происходит что-то подозрительное. Геометрия странная. Таким образом, пространство должно быть искривлено.

По сути, это просто геометрия, которую вы используете.

На евклидовой плоскости сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам. Но нарисуйте треугольник на сфере, и в сумме они составят больше. Например, треугольник, нарисованный от Северного полюса, немного огибающий экватор и снова возвращающийся к полюсу, имеет два угла по 90 градусов каждый, поэтому полярный угол представляет собой угловой избыток.

Суть в том, что вам не нужен трехмерный глобус. Флатландец, заметивший, что углы тем больше, чем больше треугольник, в любом случае разработал бы сферическую (или эллиптическую) геометрию. Мы говорим, что евклидова геометрия внутренне плоская, а сферическая геометрия внутренне искривлена.

Аналогичные искажения в пространстве-времени Минковского приводят нас к пониманию того, что оно тоже должно быть искривлено.