Есть ли доказательство из первого принципа, что лагранжиан L = T - V?

Question

Есть ли доказательство из первого принципа, что лагранжиан L = T - V?

Чин Йе

Есть ли доказательство из первого принципа, что для лагранжиана $L$ ,

л знак равно Т (кинетическая энергия) - В (потенциальная энергия)

$L = T\text{(kinetic energy)} - V\text{(potential energy)}$

в классической механике? Предположим, что используются декартовы координаты. Среди комбинаций, $L = T - nV$ , Только $n=1$ работает. Есть ли для этого фундаментальная причина?

С другой стороны, вариационный принцип, используемый при выводе уравнений движения, уравнение Эйлера-Лагранжа, является достаточно общим (с его помощью можно найти оптимум любого параметризованного интеграла) и не определяет форму лагранжиана. Я признателен всем, кто дает ответ, и, если возможно, первоисточник (кто первым опубликовал ответ в литературе).

Примечания, добавленные 22 сентября:
- Насколько я могу найти, оба ответа верны. Оба респондента не были уверены в том, что я имел в виду под термином, который я использовал: «первый принцип». Мне нравится подробно излагать то, что я думал, не имея в виду снисходительность или что-то близкое к этому. Пожалуйста, имейте небольшое понимание, если слова, которые я использую, не очень хорошо продуманы.
- Мы занимаемся наукой, собирая факты, формулируя эмпирические законы, строя теорию, обобщающую законы, затем мы возвращаемся в лабораторию и выясняем, выдержит ли часть обобщения проверку. Законы Ньютона близки к концу эмпирических законов, а это означает, что их легко проверить в лаборатории. Эти законы не ограничиваются гравитацией, но используются в основном в условиях гравитации. Когда мы обобщаем и выражаем их в лагранжиане или гамильтониане, их можно использовать там, где законы Ньютона не могут быть применены, например, к электромагнетизму или любым другим неизвестным нам силам. Лагранжиан или гамильтониан и производные уравнения движения являются обобщениями и более теоретическими, условно говоря; по крайней мере, они немного более теоретические, чем законы Ньютона. Мы по-прежнему идем в лабораторию, чтобы проверить эти обобщения, но это
- Но вот новая проблема, как указал @Jerry Schirmer в своем комментарии, и я согласился. Лагранжиан — отличный инструмент, если мы знаем его выражение. Если мы этого не сделаем, то мы в проигрыше. Лагранжиан почти так же бесполезен, как законы Ньютона для новой таинственной силы. Это почти так же бесполезно, но не совсем, потому что мы можем попробовать и ошибиться. У нас гораздо больше шансов ошибиться в лагранжиане, чем в уравнениях движения.
- О, вариационный принцип, на мой взгляд, является «первым принципом» и используется для вывода уравнения Эйлера-Лагранжа. Но вариационный принцип не дает ключа к явному выражению лагранжиана. Это точка, к которой я веду. Вот почему я ищу помощь, скажем, в Physics SE. Если бы кто-то знал причину, по которой n=1 в L=T-nV, то мы могли бы использовать это рассуждение, чтобы узнать о загадочной силе. Похоже, что кто-то находится в будущем.

Джерри Ширмер

Я думаю, что ваш вопрос как бы задает этот вопрос... говоря

L = T - V

$L = T - V$ это хороший способ дать общий лагранжиан, который дает вам ньютоновскую механику, но это не самый общий лагранжиан, и эта форма фактически не работает, скажем, для электромагнетизма. С современной точки зрения можно сказать, что лагранжиан (плотность) — это объект, который определяется до понятия энергии.

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/9/2451 , physics.stackexchange.com/q/15899/2451 и ссылки в них.

Чику

@ChinYeh Есть доказательство, основанное на законах Ньютона и принципе Даламбера! Вы хотите что-то более простое, чем это?

Джерри Ширмер

@ChinYeh: конечно - вы определяете тип необходимых вам полей/частиц, определяете симметрию проблемы, а затем записываете наиболее общий лагранжиан, учитывающий эти две вещи. Затем вы делаете прогнозы и уточняете свой лагранжиан.

Ответы (7)

Есть ли доказательство из первого принципа, что лагранжиан L = T - V?

Я думаю, что ваш вопрос как бы задает этот вопрос... говоря $L = T - V$ это хороший способ дать общий лагранжиан, который дает вам ньютоновскую механику, но это не самый общий лагранжиан, и эта форма фактически не работает, скажем, для электромагнетизма. С современной точки зрения можно сказать, что лагранжиан (плотность) — это объект, который определяется до понятия энергии.
Связано: physics.stackexchange.com/q/9/2451 , physics.stackexchange.com/q/15899/2451 и ссылки в них.
@ChinYeh Есть доказательство, основанное на законах Ньютона и принципе Даламбера! Вы хотите что-то более простое, чем это?
@ChinYeh: конечно - вы определяете тип необходимых вам полей/частиц, определяете симметрию проблемы, а затем записываете наиболее общий лагранжиан, учитывающий эти две вещи. Затем вы делаете прогнозы и уточняете свой лагранжиан.

Qмеханик · Answer 1

Мы предполагаем, что ОП под термином первый принцип в данном контексте означает законы Ньютона, а не принцип стационарного действия . $^1$ . Действительно, можно вывести уравнения Лагранжа из законов Ньютона, ср. этот ответ Phys.SE.

Набросок доказательства: рассмотрим нерелятивистский $^2$ ньютоновская проблема $N$ точечные частицы с позициями ${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_N$ , с обобщенными координатами $q^1, \ldots, q^n$ , а также $m=3N-n$ голономные ограничения .

Предположим для простоты, что приложенная к системе сила имеет обобщенный (возможно, зависящий от скорости) потенциал $U$ . (Это, например, исключает силы трения , зависящие от скорости .)

Тогда можно вывести следующее ключевое тождество

\begin{matrix} (1) & \sum_{я знак равно 1}^{Н} ({\dot{п}}_{я} - Ф_{я}) \cdot дельта р_{я} знак равно \sum_{Дж знак равно 1}^{н} (\frac{д}{д т} \frac{\partial (Т - U)}{\partial {\dot{д}}^{Дж}} - \frac{\partial (Т - U)}{\partial д^{Дж}}) дельта д^{Дж} . \end{matrix}

$\tag{1} \sum_{i=1}^N \left(\dot{\bf p}_i-{\bf F}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i ~=~ \sum_{j=1}^n \left(\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-U)}{\partial \dot{q}^j} -\frac{\partial (T-U)}{\partial q^j}\right) \delta q^j.$

Здесь $\delta$ обозначает бесконечно малое виртуальное перемещение , согласующееся с ограничениями. Более того, ${\bf F}_i$ приложенная сила (т. е. общая сила за вычетом ограничивающих сил) на $i$ 'я частица. Лагранжиан $L:=T-U$ здесь определяется как разница $^3$ между кинетической и потенциальной энергией. Обратите внимание, что правая сторона. экв. (1) точно содержит оператор Эйлера-Лагранжа .

Принцип Даламбера гласит, что лев. экв. (1) равно нулю. Тогда уравнения Лагранжа следуют из того, что виртуальное перемещение $\delta q^j$ в обобщенных координатах является свободным и произвольным.

Принцип Даламбера, в свою очередь, следует из законов Ньютона с использованием некоторых предположений о форме сил связи. (Например, мы предполагаем, что трения скольжения нет.) См. Ref. 1 и этот пост Phys.SE для получения дополнительной информации.

Использованная литература:

Г. Гольдштейн, Классическая механика, Глава 1.

--

$^1$ Всегда следует помнить, что на классическом уровне (в смысле $\hbar=0$ ), лагранжиан $L$ далеко не уникален в том смысле, что множество различных лагранжианов могут давать одни и те же уравнения. движения. Например, всегда можно добавить полную производную по времени к лагранжиану или масштабировать лагранжиан с константой. См. также этот пост Phys.SE.

$^2$ Можно расширить специальную релятивистскую версию ньютоновской механики, (среди прочего) заменив нерелятивистскую формулу $T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N m_i v^2_i$ с $T=-\sum_{i=1}^N \frac{m_{0i}c^2}{\gamma(v_i)}$ а не кинетическая энергия $\sum_{i=1}^N [\gamma(v_i)-1]m_{0i}c^2$ . См. также этот пост Phys.SE.

$^3$ ОП размышляет, почему лагранжиан $L$ не в форме $T-\alpha U$ для некоторой константы $\alpha\neq 1$ ? Фактически ключевое тождество (1) можно обобщить следующим образом

\begin{matrix} (1') & \sum_{я знак равно 1}^{Н} ({\dot{п}}_{я} - α Ф_{я}) \cdot дельта р_{я} знак равно \sum_{Дж знак равно 1}^{н} (\frac{д}{д т} \frac{\partial (Т - α U)}{\partial {\dot{д}}^{Дж}} - \frac{\partial (Т - α U)}{\partial д^{Дж}}) дельта д^{Дж} . \end{matrix}

$\tag{1'} \sum_{i=1}^N \left(\dot{\bf p}_i-\alpha{\bf F}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i ~=~ \sum_{j=1}^n \left(\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-\alpha U)}{\partial \dot{q}^j} -\frac{\partial (T-\alpha U)}{\partial q^j}\right) \delta q^j.$

Итак, тот факт, что лагранжиан $L$ не в форме $T-\alpha U$ за $\alpha\neq 1$ напрямую связано с тем, что 2-й закон Ньютона не имеет вида $\dot{\bf p}_i=\alpha {\bf F}_i$ за $\alpha\neq 1$ .

Урс Шрайбер · Answer 2

Позвольте мне предположить, что «первые принципы» означают законы Ньютона, но в несколько более широкой формулировке уравнений Гамильтона, которые говорят, что для заданной функции Гамильтона $H$ , то канонический импульс (я покажу один для простоты записи) связан со скоростями соотношением

\dot{д} знак равно \frac{\partial ЧАС}{\partial п}

$\dot q = \frac{\partial H}{\partial p}$

и что динамическое уравнение движения (обобщающее $F = m a$ ) является

\dot{п} знак равно - \frac{\partial ЧАС}{\partial д} .

$\dot p = -\frac{\partial H}{\partial q} \,.$

Итак, за бесконечно малый промежуток времени $\epsilon$ координаты и импульсы эволюционируют как

д_{ϵ} знак равно д + \frac{\partial ЧАС}{\partial п} ϵ

$q_\epsilon = q + \frac{\partial H}{\partial p} \epsilon$

а также

п_{ϵ} знак равно п - \frac{\partial ЧАС}{\partial д} ϵ .

$p_\epsilon = p - \frac{\partial H}{\partial q} \epsilon \,.$

В то же время изменение канонических координат/канонических импульсов связано с лагранжианом $L$ by ("производящие функции для канонических преобразований ")

п_{ϵ} д д_{ϵ} - п д д знак равно ϵ д л .

$p_\epsilon \mathbf{d}q_{\epsilon} - p \mathbf{d}q = \epsilon \mathbf{d}L \,.$

Теперь вычисляем:

\begin{aligned} п_{ϵ} д д ϵ - п д д & знак равно (п - \frac{\partial ЧАС}{\partial д} ϵ) д (д + \frac{\partial ЧАС}{\partial п} ϵ) - п д д \\ знак равно ϵ (п д \frac{\partial ЧАС}{\partial п} - \frac{\partial ЧАС}{\partial д} д д) \\ знак равно ϵ (д (п \frac{\partial ЧАС}{\partial п}) - \frac{\partial ЧАС}{\partial п} д п - \frac{\partial ЧАС}{\partial д} д д) \\ знак равно ϵ д (п \frac{\partial ЧАС}{\partial п} - ЧАС) \end{aligned} .

$\begin{aligned} p_\epsilon \, \mathbf{d} q \epsilon - p \mathbf{d} q & = \left(p - \frac{\partial H}{\partial q} \epsilon \right) \mathbf{d} \left( q + \frac{\partial H}{\partial p} \epsilon \right) - p \mathbf{d}q \\ & = \epsilon \left( p \mathbf{d}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial q} \mathbf{d}q \right) \\ & = \epsilon \left( \mathbf{d}\left( p \frac{\partial H}{\partial p}\right) - \frac{\partial H}{\partial p} \mathbf{d} p - \frac{\partial H}{\partial q} \mathbf{d}q \right) \\ & = \epsilon \mathbf{d} \left( p \frac{\partial H}{\partial p} - H \right) \end{aligned} \,.$

Следовательно, в общем случае лагранжиан

л знак равно п \frac{\partial ЧАС}{\partial п} - ЧАС .

$L := p \frac{\partial H}{\partial p} - H \,.$

Сейчас если $H$ имеет стандартный вид (настройка $m = 1$ для простоты)

ЧАС знак равно {ЧАС}_{к я н} + {ЧАС}_{п о т} знак равно \frac{1}{2} п^{2} + В (д)

$H = H_{kin} + H_{pot} = \tfrac{1}{2}p^2 + V(q)$

тогда

л знак равно {ЧАС}_{к я н} - {ЧАС}_{п о т} .

$L = H_{kin} - H_{pot} \,.$

Между прочим, любой, кому нравится более общий абстрактный взгляд на то, что здесь происходит, может получить удовольствие от изучения этой истории, переведенной на язык «предварительно квантованных лагранжевых соответствий», подробнее об этом см. на nLab здесь ,

Даниэль Малер · Answer 3

Лагранжевую механику можно вывести непосредственно из второго закона Ньютона, используя только алгебраические манипуляции и некоторые вычисления. Это включает как общую форму уравнения Эйлера-Лагранжа, так и конкретную форму Лангангиана. $L = T - V$ . Никаких предположений о стационарности, использования вариационного исчисления или даже какой-либо ссылки на понятие действия не требуется.

Это показано в книге Брайана Ли Бирса: Геометрическая природа уравнений Лагранжа . Подобный вывод есть и у Джеймса Кейси: Геометрический вывод уравнений Лагранжа для системы частиц . Кейси также написал серию статей, распространяющих эту идею на твердые тела, динамику жидкости и т.

Бирс начинает со второго закона Ньютона и проецирует его на базисные векторы координат. Для одной частицы это

Ф \cdot \frac{\partial р}{\partial д^{я}} знак равно м \ddot{р} \cdot \frac{\partial р}{\partial д^{я}}

$\mathbf{F} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} = m \mathbf{\ddot{r}} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}$ Из этого несколько простых алгебраических шагов производят

\frac{д}{д т} \frac{\partial Т}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial Т}{\partial д_{я}} знак равно Ф_{я} знак равно Ф \cdot \frac{\partial р}{\partial д^{я}}

$\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} = F_i = \mathbf{F} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}$ Это более общая форма уравнения Лагранжа, которая охватывает диссипативные системы. Консервативный случай получается установкой

F = - \nabla V

$\mathbf{F} = -\nabla V$ . Подстановка этого в приведенное выше уравнение дает

\begin{aligned} \frac{д}{д т} \frac{\partial Т}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial Т}{\partial д_{я}} & знак равно - \frac{\partial В}{\partial д_{я}}, поскольку \frac{\partial В}{\partial д_{я}} знак равно \nabla В \cdot \frac{\partial р}{\partial д^{я}} \\ ∴ \frac{д}{д т} \frac{\partial Т}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial (Т - В)}{\partial д_{я}} & знак равно 0 \\ \frac{д}{д т} \frac{\partial Т}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} & знак равно 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} &= - \frac{\partial V}{\partial q_i} \text {, since } \frac{\partial V}{\partial q_i} = \nabla V \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} \\ \therefore \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial (T - V) }{\partial q_i} &= 0 \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L }{\partial q_i} &= 0 \end{align}$ В настоящее время

\frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_{i}} = 0

$\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_i} = 0$ так как по определению

V

$V$ является функцией только

q_{i}

$q_i$ и независимо от

{\dot{q}}_{i}

$\dot{q}_i$ , так:

\begin{aligned} \frac{д}{д т} (\frac{\partial Т}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial В}{\partial {\dot{д}}_{я}}) - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} знак равно 0 \\ \frac{д}{д т} \frac{\partial (Т - В)}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} знак равно 0 \\ \frac{д}{д т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} знак равно 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L }{\partial q_i} = 0 \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L }{\partial q_i} = 0 \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L }{\partial q_i} = 0 \\ \end{align}$ Нигде в этом не предполагается, что

T - V

$T - V$ является стационарным или даже особенным в любом случае. Таким образом определяя

L = T - V

$L = T - V$ выглядит как хак, чтобы привести в порядок уравнения для консервативной системы, а не что-то фундаментальное. Можно использовать

T

$T$ как лагранжиан, по крайней мере, для классической механики. Это действительно необходимо для работы с диссипативными системами.

Приведенный выше вывод применим к общим системам, таким как системы из нескольких частиц, твердые тела и т. д. Основное изменение состоит в том, что скаляр массы должен быть заменен тензором инерции системы. Это описано в упомянутых выше статьях Кейси, а также в Synge: On the геометрия динамики и Крауч: Геометрические структуры в теории систем .

Мне нравится этот вывод, так как он прямой, ясный и простой (хотя я очень люблю вариационные принципы). Однако не сразу понятно, как вы справляетесь со случаем с зависящими от скорости консервативными силами (например, магнитными полями), поскольку вы явно требуете $V$ быть независимым от скорости. Можете ли вы справиться с этим, переопределив $T$ ?
@SebastianRiese Интересный вопрос. Дай мне подумать об этом.
Чувак, я ненавижу, когда люди вычитают ноль :-) +1

Чин Йе · Answer 4

Я нашел викиссылку Lagrange_multiplier , которая отвечает на мой вопрос:

«Таким образом, сила, действующая на частицу из-за скалярного потенциала, $F=-\nabla V$ , можно интерпретировать как множитель Лагранжа, определяющий изменение действия (перехода потенциальной энергии в кинетическую) после изменения ограниченной траектории частицы».

${\ \ }$ Другими словами, потенциальная энергия $V$ становится набором ограничений для лагранжиана $L=T-nV$ куда $n$ множитель Лагранжа, который необходимо определить. Вариация

дельта \int_{т_{1}}^{т_{2}} л ({\dot{д}}_{1}, . . ., {\dot{д}}_{Н}, д_{1}, . . ., д_{Н}) д т знак равно 0

$\delta \int_{t_1}^{t_2}L(\dot q_1,...,\dot q_N,q_1, ..., q_N)dt=0$
превращается в

2 N

$2N$ уравнения,

N

$N$ из которых являются уравнениями движения

\frac{д}{д т} (\nabla_{\dot{д}} Т) + н \nabla_{д} В знак равно 0

$\frac{d}{dt} ( \nabla_{\dot q}T)+n \nabla{_q}V=0$

и другие $N$ уравнения являются ограничениями. оказывается $n=1$ .

Метод множителей Лагранжа имеет смысл, потому что $V$ не зависит от пути, поэтому его вариация по разным путям всегда равна нулю:

дельта \int_{т_{1}}^{т_{2}} В д т \equiv 0

$\delta \int_{t_1}^{t_2}Vdt≡0$
Когда мы применяем вариационный принцип к

δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t \equiv 0

$\delta \int_{t_1}^{t_2}Ldt≡0$ , только

T

$T$ срок варьируется.
Когда мы добавляем

n \int_{t_{1}}^{t_{2}} V d t

$n \int_{t_1}^{t_2}Vdt$ с произвольным

n

$n$ , ничего не меняется.
Но если мы думаем,

V

$V$ слагаемых в качестве ограничений, по которым движется частица, то мы получаем правильные уравнения движения.

Комментарий к ответу (v1): обратите внимание, что два действия $S[q] := \int \! dt~(\frac{m}{2}\dot{q}^2-V)$ а также $S[q,\lambda]:= \int \! dt~(\frac{m}{2}\dot{q}^2-\lambda V)$ описывают две разные физические теории. Последняя модель ограничивает движение частицы по эквипотенциальной поверхности. $V=0$ , а первый нет. Например, если $V=\frac{m}{2}(\omega q)^2$ представляет собой гармонический потенциал в 1D, то решение $q=q_0\cos(\omega (t-t_0))$ в первом случае, пока $q=0$ в последнем случае.
Похоже, что результирующие уравнения движения одинаковы для двух настроек. Я должен почесать голову больше. Я хочу сказать, что потенциальная энергия не играет никакой роли в вариациях, даже если она играет роль в траектории.

Чин Йе · Answer 5

Чин Йе

The $n$ в $L=T-nV$ можно рассматривать как масштабирующий фактор потенциала. $n$ не меняет физику. Например, для гравитации $n$ может быть поглощен гравитационной постоянной. См. также это .

Qмеханик

Комментарий к ответу (v1): Что вы имеете в виду

n \neq 1

$n\neq 1$ не меняет физику? Изменение гравитационной постоянной

G

$G$ меняет физику.

Чин Йе

@Qмеханик. Я наверное не правильно выразился. Или, возможно, я не думал, что это правильно. Я так и думал.

V

$V$ не играет никакой роли в вариации. Мы можем добавить фактор

n

$n$ к

V

$V$ , природа физики не меняется, даже если меняется траектория. Пример, который я привел, еще более рискованный. Если мы удвоим

V

$V$ и уменьшить гравитационную постоянную наполовину, мы все равно получим те же уравнения движения. Раскрытие информации: я бы не стал делать никаких расчетов с

n \neq 1

$n\neq 1$ . Я просто хотел объяснить этот комок в моей голове.

ЛилФейнман · Answer 6

Доказательство 1: у меня есть одно из моих, менее интенсивное:

В качестве примечания к этому доказательству: поскольку то, что мы нашли как полную энергию системы, сохраняется, уравнение в строке 3 имеет новый новый смысл: в каждой точке вдоль реальной траектории, также известной как решение уравнения Эйлера-Лагранжа, частица будет двигаться в направлении, обеспечивающем постоянство ее полной энергии. Другими словами, лагранжев путь — это путь, минимизирующий изменение полной энергии от точки к точке (КОТОРАЯ ДОЛЖНА БЫТЬ НУЛЕМ).

Доказательство 2: (Функциональное исчисление) В учебнике (Квантовая теория поля для одаренных любителей) есть еще одно доказательство: по сути, если T и U являются функционалами и взяты их функциональные производные:

Функциональная производная от dT/d(x(t)) = -ma и функциональная производная от U = dU/d(x(t))

Если сравнить уравнение Ньютона: (-dU/dx = ma), также известное как (dU/dx = -ma), мы обнаружим, что уравнение Ньютона утверждает, что функциональная производная от T равна функциональной производной от U.

d/d(x(t))(T)=d/d(x(t))(U) (где это функциональные производные по изменению функционала)

Что при факторизации превращается в: d/d(x(t))(TU)=0 Что является принципом наименьшего действия: Стационарный интеграл функционала (TU).

Пожалуйста, напечатайте свой ответ вместо использования изображений. Изображения уменьшают возможность обнаружения и мешают видимости поста. Также используйте MathJax для набора математических выражений.

Джошуа Паса · Answer 7

Есть отличный способ показать, что лагранжиан (то, что вы хотите минимизировать) на самом деле равен $T-V$ . «Доказательство» взято из книги «Квантовая теория поля для любителей». Для начала доказательства следует прежде всего рассмотреть, что такое средняя кинетическая и потенциальная энергия как функционал

Т_{а в грамм} [Икс (т)] знак равно \frac{1}{т_{2} - т_{1}} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т \frac{1}{2} м {\dot{Икс}}^{2} (т)

$T_{avg}[x(t)]=\frac{1}{t_2 -t_1}\int_{t_i}^{t_f}dt \frac{1}{2}m\dot{x}^2(t)$

В_{а в грамм} [Икс (т)] знак равно \frac{1}{т_{2} - т_{1}} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т В (Икс (т))

$V_{avg}[x(t)]=\frac{1}{t_2 -t_1}\int_{t_i}^{t_f}dtV(x(t))$ Далее, если мы возьмем функциональные производные обеих сторон, мы обнаружим, что

\frac{дельта Т_{а в грамм}}{дельта Икс (т)} знак равно - \frac{1}{т_{2} - т_{1}} м \ddot{Икс}

$\frac{\delta T_{avg}}{\delta x(t)}=-\frac{1}{t_2 -t_1}m\ddot{x}$

\frac{дельта В_{а в грамм}}{дельта Икс (т)} знак равно \frac{1}{т_{2} - т_{1}} \frac{д В (Икс)}{д Икс}

$\frac{\delta V_{avg}}{\delta x(t)}=\frac{1}{t_2 -t_1}\frac{dV(x)}{dx}$ Уравнения движения объекта в ньютоновской механике задаются следующим уравнением

Ф знак равно - \frac{д В (Икс)}{д Икс}

$F=-\frac{dV(x)}{dx}$ Однако мы также можем записать это уравнение как

м \ddot{Икс} знак равно - \frac{д В (Икс)}{д Икс}

$m\ddot{x}=-\frac{dV(x)}{dx}$ Теперь решение производной потенциала дает нам, что

\frac{д В (Икс)}{д Икс} - м \ddot{Икс}

$\frac{dV(x)}{dx}-m\ddot{x}$ Если мы теперь предположим, что уравнения движения удовлетворяются, мы можем подставить выражение, которое мы получили выше, в нашу функциональную производную

\frac{дельта В_{а в грамм}}{дельта Икс (т)} знак равно - \frac{1}{т_{2} - т_{1}} м \ddot{Икс}

$\frac{\delta V_{avg}}{\delta x(t)}=-\frac{1}{t_2 -t_1}m\ddot{x}$ Что является той же функциональной производной от средней кинетической энергии. Что обозначает

\frac{дельта Т_{а в грамм}}{дельта Икс (т)} знак равно \frac{дельта В_{а в грамм}}{дельта Икс (т)}

$\frac{\delta T_{avg}}{\delta x(t)}=\frac{\delta V_{avg}}{\delta x(t)}$ Перемещение терминов в одну сторону дает нам

\frac{дельта Т_{а в грамм}}{дельта Икс (т)} - \frac{дельта В_{а в грамм}}{дельта Икс (т)} знак равно 0

$\frac{\delta T_{avg}}{\delta x(t)}-\frac{\delta V_{avg}}{\delta x(t)}=0$ Поскольку функциональная производная линейна, мы видим, что также верно следующее

\frac{дельта}{дельта Икс (т)} (Т_{а в грамм} - В_{а в грамм}) знак равно 0

$\frac{\delta}{\delta x(t)}\left(T_{avg} - V_{avg}\right)=0$ Теперь, если мы подставим среднюю кинетическую энергию и среднюю потенциальную энергию обратно в уравнение, мы увидим, что верно следующее

\frac{дельта}{дельта Икс (т)} \frac{1}{т_{2} - т_{1}} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т (\frac{1}{2} м {\dot{Икс}}^{2} (т) - В (Икс)) знак равно 0

$\frac{\delta}{\delta x(t)}\frac{1}{t_2 -t_1}\int_{t_i}^{t_f}dt \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2(t) - V(x)\right)=0$ Если мы улучшим это выражение, умножив его на постоянный член, мы увидим, что

\frac{дельта}{дельта Икс (т)} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т (\frac{1}{2} м {\dot{Икс}}^{2} (т) - В (Икс)) знак равно 0

$\frac{\delta}{\delta x(t)}\int_{t_i}^{t_f}dt \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2(t) - V(x)\right)=0$ Что такое же, как

\frac{дельта}{дельта Икс (т)} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т (Т - В) знак равно 0

$\frac{\delta}{\delta x(t)}\int_{t_i}^{t_f}dt \left( T - V\right)=0$ Здесь мы видим, что мы минимизируем этот функционал, и этот функционал приводит к уравнениям движения, потому что мы ввели его в наше определение. Это и есть действие, а член внутри действия — лагранжиан. Итак, мы показали, что

л знак равно Т - В

$L = T - V$

Откуда при выводе кинетической энергии взялся знак минус?
@mohamed, взяв функциональную производную, вы можете показать, что должен быть отрицательный знак. Попробуйте самостоятельно взять функциональную производную и убедиться, что это правильный результат.
я не ясно выразил свою мысль. Я имею в виду, разве это не противоречит здравому смыслу? средняя кинетическая энергия увеличивается, а средняя потенциальная энергия уменьшается, потому что энергия сохраняется (т. Е. Наклон кинетической энергии имеет противоположный знак наклона потенциальной энергии). Ваш ответ действительно упрощает задачу. я начальный-средний уровень по физике, можете ли вы порекомендовать простые и понятные книги (например, ту, на которую вы ссылались в ответе), предпочтительно из Springerlink или онлайн-библиотеки wiley. Примечание. Я еще не изучал функционалы и их производные.
Да, это немного нелогично, но именно поэтому вы должны посмотреть на это с другой точки зрения. Это делает его намного более интуитивным, если вы думаете об обмене энергией. Если у вас есть потенциальная энергия, то, естественно, эта потенциальная энергия начнет преобразовываться в кинетическую энергию. Или, если у вас есть кинетическая энергия, вы можете преобразовать ее в потенциальную энергию, отойдя от объекта, вызывающего потенциал. Итак, вы пытаетесь найти путь с наибольшим количеством потенциальной энергии или с наибольшим количеством кинетической энергии, поскольку они преобразуются друг в друга.
@mohamed Что ты изучаешь? На основании этого могу дать рекомендации по книгам.
механистические предпосылки (классическая механика) к квантовой механике
@mohamed Я не лучше всего подхожу для ответа на этот вопрос, потому что у меня действительно есть книги только по темам более высокого уровня, так как я хотел понять это больше. Но я бы рекомендовал Гриффита для квантовой механики. Однако я ничего не знаю о классической механике, потому что никогда не изучал ее. Поскольку я самоучка, я просто выбирал вещи, которые было интересно изучать, поэтому в моих знаниях много пробелов. Но я думаю, что у Леонарда Сасскинда есть лекция по классической механике, хотя я думаю, что она просто бегло просматривает каждую тему в ней. В MITOpenCourseware есть хорошие лекции по квантовой механике.
мне действительно трудно вывести отрицательный знак. Я не очень разбираюсь в исчислении и знаю, что, вероятно, часть, которую я упускаю, очень мала. Так что, если бы вы могли порекомендовать также несколько хороших книг по математическому анализу (книги такого типа, которые показывают вам приемы, а не только формальный способ решения уравнений). ПРИМЕЧАНИЕ. Я тоже учусь самостоятельно, и у меня средний уровень исчисления 2 с небольшим опытом работы с частными производными.
@mohamed Я думаю, проблема в том, что вы относитесь к функциональным производным как к нормальным производным так, как определяется функциональная производная.
@mohamed Я думаю, проблема в том, что ты рассматриваешь функциональные производные как нормальные производные. Если вы посмотрите на страницу Википедии для функциональных производных, вы узнаете, как их вычислить. Обратите внимание, что вам необходимо иметь представление о дельта-функциях.

Есть ли доказательство из первого принципа, что лагранжиан L = T - V?

Чин Йе

Джерри Ширмер

Qмеханик

Чику

Джерри Ширмер

Ответы (7)

Qмеханик

Урс Шрайбер

Даниэль Малер

Себастьян Ризе

Даниэль Малер

пользователь541686

Чин Йе

Qмеханик

Чин Йе

Чин Йе

Qмеханик

Чин Йе

ЛилФейнман

пользователь 258881

Джошуа Паса

мохамед

Джошуа Паса

мохамед

Джошуа Паса

Джошуа Паса

мохамед

Джошуа Паса

мохамед

Джошуа Паса

Джошуа Паса