Время упасть на Солнце с орбиты Марса

Быстрый и грязный способ получить приблизительный ответ состоит в том, чтобы заметить, что, когда начальная орбитальная скорость тела приближается к нулю, его орбита будет приближаться к (вырожденному) эллипсу с малой осью, равной нулю, и большой осью, равной начальное расстояние тела от центра Солнца (т.е. радиус орбиты Марса).

В частности, это означает, что орбита будет иметь большую полуось, равную половине начального расстояния тела от Солнца, т. е. половине большой полуоси (приблизительно круговой) орбиты самого Марса.

Поскольку мы знаем, что период эллиптической орбиты пропорционален ее большой полуоси, возведенной в степень$3/2$, это означает, что уменьшение большой полуоси орбиты наполовину уменьшит период обращения до$1/2^{3/2} = 1/\sqrt8 = \sqrt2/4 \approx 0.35$раз превышает первоначальный период.

Поскольку время, за которое орбитальное тело падает от апоцентра своей орбиты до перицентра, составляет ровно половину его орбитального периода, это означает, что ваше изначально неподвижное тело упадет на Солнце за время, равное$\sqrt2/8 \approx 0.18$умножить на период обращения тела на круговой орбите на той же начальной высоте (например, в данном случае на Марсе).

Затем мы можем найти (сидерический) период обращения Марса и умножить его на$\sqrt2/8 \approx 0.18$чтобы получить решение вашего вопроса.

Пс. Этот метод делает пару приближений, которые стоит отметить. Один подразумевается в самом вопросе, который просто указывает начальную высоту тела как «марсианскую орбиту», без дальнейшего уточнения, означает ли это афелий, перигелий или что-то среднее между ними. По сути, этот метод предполагает, что начальная высота находится «где-то посередине», а именно на большой полуоси орбиты Марса.

Другое важное приближение состоит в том, что мы фактически предполагаем, что радиус Солнца пренебрежимо мал. Поскольку радиус Солнца составляет менее 0,3% большой полуоси Марса, и поскольку падающее тело в любом случае проведет большую часть времени своего падения во внешних частях своей орбиты, где оно движется медленнее всего, ошибка, вносимая это приближение будет еще меньше, чем это. По сравнению с неопределенностью примерно ± 14%, вызванной плохо указанной начальной высотой из-за эксцентриситета орбиты Марса, это действительно незначительно.

Поскольку ответ @IlmariKaronen вызвал некоторый скептицизм и еще не был принят, я поддержу его независимо, чтобы он мог получить заслуженное признание!

Орбитальный период Википедии Небольшое тело, вращающееся вокруг центрального тела, дает

Умножьте это на$\sqrt{2}/8$и мы получаем

Посмотрите видео Гравитационное притяжение: время, за которое 2 объекта столкнутся в свободном пространстве , и после 27 минут аналитикомагических манипуляций мы получим тот же результат!