Что не так с версией уравнения Клейна-Гордона с квадратным корнем?

Question

Что не так с версией уравнения Клейна-Гордона с квадратным корнем?

Ник

В статье Википедии есть вывод уравнения Клейна-Гордона. Доходит до этого шага:

\sqrt{п^{2} с^{2} + м^{2} с^{4}} "=" Е

$\sqrt{\textbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4} = E$

и вставляет операторы QM, чтобы получить

(\sqrt{(- я ℏ \nabla)^{2} с^{2} + м^{2} с^{4}}) ψ "=" я ℏ \frac{\partial}{\partial т} ψ

$\left( \sqrt{ (-i \hbar \nabla)^2 c^2 + m^2 c^4 } \right) \psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi$

Затем в статье говорится

Однако с этим выражением неудобно работать, потому что дифференциальный оператор нельзя вычислить, пока он находится под знаком квадратного корня. Кроме того, это уравнение в его нынешнем виде является нелокальным.

Чтобы исправить это, первое уравнение возводится в квадрат, чтобы получить

п^{2} с^{2} + м^{2} с^{4} "=" Е^{2}

$\textbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4 = E^2$

после чего вставляются операторы QM и выражение упрощается, чтобы получить

- ℏ^{2} с^{2} \nabla^{2} ψ + м^{2} с^{4} ψ "=" - ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial т^{2}} ψ

$-\hbar^2 c^2 \nabla^2 \psi + m^2 c^4 \psi = -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi$

Пара вещей, которые я не понимаю. Во-первых, не совпадают ли решения этого дифференциального уравнения с решениями первого дифференциального уравнения? Обе части исходного уравнения были возведены в квадрат, поэтому мне кажется, что независимо от конкретной формы полученного дифференциального уравнения обе они должны иметь точно такой же набор решений.

Во-вторых, почему трудно работать с первым дифференциальным уравнением? Кажется, что на самом деле с ним будет проще работать, поскольку оператор под квадратным корнем можно разложить в ряд Тейлора, и тогда у вас будет уравнение первого порядка по времени.

И, наконец, может ли кто-нибудь уточнить, что означает нелокальный? Связанная статья на странице Википедии не совсем помогла мне понять это.

CuriousOne

Возведение в квадрат двух частей уравнения не является операцией эквивалентности даже для простых алгебраических уравнений (это школьная математика), потому что

x = 1

$x=1$ имеет одно решение, но

x^{2} = 1^{2}

$x^2=1^2$ имеет два. То, что алгебраическая функция дифференциального оператора не может быть вычислена в каком-то смысле, является нонсенсом, и Википедия не должна этого говорить. Проблема в том, что вычисление этого корня привело бы к бесконечному ряду дифференциальных операторов, которые при определенных обстоятельствах могут быть выражены как более общий оператор интегрального типа... и именно здесь, вероятно, проявится нелокальность .

Ник

Как вы указали, поскольку возведение в квадрат двух частей уравнения не является операцией эквивалентности, в каком смысле тогда правильно делать это с вышеизложенным?

CuriousOne

В том смысле, что физика - это не математика. Природе все равно, какой умственный процесс вы используете, чтобы угадать правильное уравнение, пока уравнение имеет решения, которые в какой-то мере верны. Вывод уравнения Кляйна-Гордона — это просто предположение, когда что-то, что не имеет смысла, принимается за уравнение и смешивается с чем-то, что имеет чуть больше смысла. Вот и все, что на самом деле стоит за этой «загадкой».

Ник

То есть, по сути, весь этот вывод, включающий возведение в квадрат, является просто эвристикой для получения уравнения, которое затем проверяется экспериментом, чтобы увидеть, насколько хорошо оно совпадает? Не поэтому ли уравнение Дирака является «альтернативной» релятивистской формой уравнения Шредингера?

CuriousOne

Ты получил это. Все уравнения движения являются результатом сложных догадок. Они, конечно, не произвольны, ведь нам нужны приятные свойства вроде сохранения энергии, причинности, инвариантности относительно групп симметрии, существования основного состояния, устойчивости... Список необходимых технических критериев, наверное, весьма обширен. Я не думаю, что правильно говорить, что Дирак — это релятивистская версия Шредингера. Это одно релятивистское уравнение среди многих других, и оно исторически соответствует временным рамкам, но мы все еще продолжаем изобретать новые релятивистские уравнения... и ни одно из них не идеально.

Ник

А самая «идеальная» версия — это просто КТП, в которой даже нет уравнения Шредингера, верно?

CuriousOne

Зависит от того, что вы подразумеваете под «уравнением Шредингера». Теоретически можно упаковать КТП в нечто, что формально выглядит как уравнение Шредингера (но это не Уравнение Шредингера для отдельных частиц), и, насколько мне известно, эта «форма» не так уж полезна для реальных вычислений. Я думаю, что более проблематичными случаями квантовых теорий поля являются те, в которых даже нет простого уравнения (по крайней мере, пока). Например, можно довольно хорошо разбираться в пертурбативных свойствах системы, даже не зная явного лагранжиана.

Алекс Нельсон

@CuriousOne, «говорят», функциональное уравнение Шрёдингера полезно для некоторых пертурбативных вычислений, но, как вы намекаете, его полезность может быть сомнительной (см., например, главу Брайана Хэтфилда «Квантовая теория поля точечных частиц и струн» о функционале Изображение Шредингера, когда оно полезно в пертурбативных вычислениях).

CuriousOne

@AlexNelson: я не теоретик и действительно не могу сказать ничего полезного о том, как проводить подробные расчеты. Я думаю, что есть некоторое согласие в том, что все современные формулировки КТП все еще страдают от серьезных математических проблем, но, учитывая, насколько успешна теория, даже в этом состоянии, по моему мнению, она не может быть полностью неправильно определена. Должна быть какая-то его версия, которая устраняет все проблемы и по существу идентична в пространстве решений тому, что мы делаем сейчас.

Ответы (2)

Что не так с версией уравнения Клейна-Гордона с квадратным корнем?

Возведение в квадрат двух частей уравнения не является операцией эквивалентности даже для простых алгебраических уравнений (это школьная математика), потому что $x=1$ имеет одно решение, но $x^2=1^2$ имеет два. То, что алгебраическая функция дифференциального оператора не может быть вычислена в каком-то смысле, является нонсенсом, и Википедия не должна этого говорить. Проблема в том, что вычисление этого корня привело бы к бесконечному ряду дифференциальных операторов, которые при определенных обстоятельствах могут быть выражены как более общий оператор интегрального типа... и именно здесь, вероятно, проявится нелокальность .
Как вы указали, поскольку возведение в квадрат двух частей уравнения не является операцией эквивалентности, в каком смысле тогда правильно делать это с вышеизложенным?
В том смысле, что физика - это не математика. Природе все равно, какой умственный процесс вы используете, чтобы угадать правильное уравнение, пока уравнение имеет решения, которые в какой-то мере верны. Вывод уравнения Кляйна-Гордона — это просто предположение, когда что-то, что не имеет смысла, принимается за уравнение и смешивается с чем-то, что имеет чуть больше смысла. Вот и все, что на самом деле стоит за этой «загадкой».
То есть, по сути, весь этот вывод, включающий возведение в квадрат, является просто эвристикой для получения уравнения, которое затем проверяется экспериментом, чтобы увидеть, насколько хорошо оно совпадает? Не поэтому ли уравнение Дирака является «альтернативной» релятивистской формой уравнения Шредингера?
Ты получил это. Все уравнения движения являются результатом сложных догадок. Они, конечно, не произвольны, ведь нам нужны приятные свойства вроде сохранения энергии, причинности, инвариантности относительно групп симметрии, существования основного состояния, устойчивости... Список необходимых технических критериев, наверное, весьма обширен. Я не думаю, что правильно говорить, что Дирак — это релятивистская версия Шредингера. Это одно релятивистское уравнение среди многих других, и оно исторически соответствует временным рамкам, но мы все еще продолжаем изобретать новые релятивистские уравнения... и ни одно из них не идеально.
А самая «идеальная» версия — это просто КТП, в которой даже нет уравнения Шредингера, верно?
Зависит от того, что вы подразумеваете под «уравнением Шредингера». Теоретически можно упаковать КТП в нечто, что формально выглядит как уравнение Шредингера (но это не Уравнение Шредингера для отдельных частиц), и, насколько мне известно, эта «форма» не так уж полезна для реальных вычислений. Я думаю, что более проблематичными случаями квантовых теорий поля являются те, в которых даже нет простого уравнения (по крайней мере, пока). Например, можно довольно хорошо разбираться в пертурбативных свойствах системы, даже не зная явного лагранжиана.
@CuriousOne, «говорят», функциональное уравнение Шрёдингера полезно для некоторых пертурбативных вычислений, но, как вы намекаете, его полезность может быть сомнительной (см., например, главу Брайана Хэтфилда «Квантовая теория поля точечных частиц и струн» о функционале Изображение Шредингера, когда оно полезно в пертурбативных вычислениях).
@AlexNelson: я не теоретик и действительно не могу сказать ничего полезного о том, как проводить подробные расчеты. Я думаю, что есть некоторое согласие в том, что все современные формулировки КТП все еще страдают от серьезных математических проблем, но, учитывая, насколько успешна теория, даже в этом состоянии, по моему мнению, она не может быть полностью неправильно определена. Должна быть какая-то его версия, которая устраняет все проблемы и по существу идентична в пространстве решений тому, что мы делаем сейчас.

Алекс Нельсон · Answer 1

Во-вторых, почему трудно работать с первым дифференциальным уравнением? Кажется, что на самом деле с ним будет проще работать, поскольку оператор под квадратным корнем можно разложить в ряд Тейлора, и тогда у вас будет уравнение первого порядка по времени.

Что ж, ряды Тейлора для операторных выражений действительно имеют смысл только в том случае, если они сходятся везде (например, $\exp(\partial_{x})$ имеет смысл как рядовое выражение)... по модулю технических деталей.

Квадратный корень не имеет красивого ряда для любого оператора... он работает для обычных операторов .

Итак, что происходит с этой версией уравнения КГ с квадратным корнем, мы просто используем преобразование Фурье выражения

\int (к^{2} - м^{2}) \hat{ф} (к) е^{я к Икс} г^{4} к "=" 0.

$\int (k^{2}-m^{2})\,\hat{f}(k)e^{ikx}\,\mathrm{d}^{4}k=0.$

Затем заметьте, что у нас есть оператор be $(k^{2}-m^{2})$ . Итак, эй, вуаля, возьми его квадратный корень! Мы получаем

\int \sqrt{к^{2} - м^{2}} \hat{ф} (к) е^{я к Икс} г^{4} к "=" 0.

$\int \sqrt{k^{2}-m^{2}}\;\hat{f}(k)e^{ikx}\,\mathrm{d}^{4}k=0.$

Тогда... ну, тогда с этим больно работать. Почему? Потому что все наши прекрасные инструменты из линейной алгебры на самом деле работают не слишком хорошо. Мой следующий инструмент, ненормативная лексика, тоже не дает особых результатов :\

Приложение: Я подумал, что должен добавить несколько ссылок на это, потому что есть люди , которые исследуют это. (Этот метод, который я набросал, описывает обработку квадратного корня уравнения Клейна-Гордона с использованием псевдодифференциальных операторов .)

Клаус Ламмерцаль, «Квадратный корень псевдодифференциального оператора уравнения Клейна – Гордона». Дж. Матем. физ. 34 9 (1993), 3918-3932, doi:10.1063/1.530015
Дж. Сачер, «Релятивистская инвариантность и уравнение Клейна-Гордона с квадратным корнем». Дж. Матем. физ. 4 17 (1963); дои: 10.1063/1.1703882

Я уверен, что оттуда вы можете следовать ссылкам куда угодно.

И, наконец, может ли кто-нибудь уточнить, что означает нелокальный? Связанная статья на странице Википедии не совсем помогла мне понять это.

Насколько я понимаю (и кто-то, возможно, меня поправит, если я ошибаюсь), в общем случае это означает, что поле в одной точке зависит от его значения в других пространственно разнесенных точках. Это мешает нашему интуитивному пониманию причины и следствия.

Если у нас есть бесконечно много производных, мы получаем эту проблему. Почему?

Что ж, рассмотрим частный случай: разложение Тейлора. У нас есть

ф (Икс + час) "=" ф (Икс) + час ф^{'} (Икс) + \dots "=" опыт (час \partial_{Икс}) ф (Икс)

$f(x+h) = f(x) + hf'(x) +\cdots = \exp(h\partial_{x})f(x)$

где $\exp(h\partial_{x})=1 + h\partial_{x} + \cdots$ есть выражение, включающее бесконечное множество производных. Затем мы получаем отношение между значениями в двух различных точках ( $x$ и $x+h$ ).

В более общем смысле мы могли бы рассматривать любой оператор, включающий бесконечное множество производных, а не только $\exp(h\partial/\partial x)$ .

Очень полезный ответ. Ваш последний пример — будет ли это означать, что разложение в ряд (в матричном представлении) оператора временной эволюции U = exp(-iHt/ћ) также нелокально, если H включает градиент?
@ Ник, в некотором смысле, я полагаю, вы могли бы думать об эволюции унитарного времени как о «нелокальной во времени», относящейся к состоянию во времени. $t_{0}$ с государством в то время $t+t_{0}$ . Это не страшно, это разрешено физикой. Проблема в том, что когда у вас нелокальность нарушает условие $[\varphi(\mathbf{x}), \varphi(\mathbf{y})]=0$ для космических $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ .

Том · Answer 2

В правой части у нас есть квадратный корень из оператора. Можно извлечь квадратный корень из оператора (т. е. квадратный корень из матрицы), и в линейной алгебре и спектральной теории существует множество теорий, связанных с этой возможностью, но вопрос заключается в том, как интерпретировать это физически, поскольку матрица имеет несколько квадратных корней, которые сами являются матрицами.

Одна из возможных интерпретаций состоит в том, чтобы сделать разложение в ряд Тейлора, как вы правильно сказали, но тогда мы получим гамильтониан с производными произвольно высокого порядка. Два стандартных подхода, очевидно, заключаются в том, чтобы возвести в квадрат обе части и получить уравнение Клейна-Гордона или просто предложить гамильтониан, линейный по импульсу и равный квадрату релятивистского отношения энергия-импульс: это приводит к уравнению Дирака. Если вы выберете последний подход, решение уравнения будет не просто функцией и должно иметь четыре компонента.

Что не так с версией уравнения Клейна-Гордона с квадратным корнем?

Ник

CuriousOne

Ник

CuriousOne

Ник

CuriousOne

Ник

CuriousOne

Алекс Нельсон

CuriousOne

Ответы (2)

Алекс Нельсон

Ник

Алекс Нельсон

Том

Откуда берутся волновые функции частицы и античастицы в уравнении Клейна-Гордона?

Можно ли полностью заключить релятивистскую квантовую частицу в конечную дырку?

Локальные ЭПР-эксперименты с фотонами в вакууме?

Можем ли мы вывести уравнение Шредингера из уравнения Клейна-Гордона?

Действительно ли релятивистская квантовая механика (РКМ) нарушает причинно-следственную связь?

Пределы, используемые для нахождения неотносительного предела уравнения Клейна-Гордона

Делокализация в версии уравнения Клейна-Гордона с квадратным корнем

Нелокальность пространства - КТП (книга Средненицкого)

Есть ли причина, по которой релятивистская квантовая теория одного фермиона существует, а одного скаляра нет?

Тензоры и уравнение Клейна-Гордона