Существует ли теорема типа Биркгофа для стационарных осесимметричных метрик?

1. Отметим прежде всего, что$U(1)$осевая симметрия намного меньше, чем$SO(3)$сферическая симметрия.

2. (Положим космологическую постоянную$\Lambda=0$к нулю.) Если сферически-симметричные вакуумные решения статичны и сферически-симметричные гравитационные волны отсутствуют, то осесимметричные вакуумные решения не обязательно стационарны и осесимметричные гравитационные волны существуют. Даже если осесимметричное вакуумное решение дополнительно предполагается стационарным или статическим , все равно остается слишком много свободы. Следовательно, не существует осесимметричной версии теоремы Биркгофа .

3. Показательна следующая электростатическая аналогия с трехмерным уравнением Пуассона: Сферически-симметричные решения$\phi$к уравнению Лапласа ограничиваются только$\phi= Ar^2+B/r$. С другой стороны, для осесимметричных решений уравнения Лапласа в цилиндрических координатах мы не можем контролировать$z$-зависимость.

Нет ничего более сильного, чем теорема Биркгофа в случае стационарности и осесимметричности. Обратите внимание, что теорему Биркгофа в ее самой сильной форме можно сформулировать так:

« Если даже кусок пространства-времени сферически симметричен и представляет собой вакуум, то это кусок пространства-времени Шварцшильда » .

Существуют различные теоремы об осесимметричном и стационарном пространстве-времени, которые говорят, что мы сводим к Керру при различных условиях, таких как, например, регулярность вне и на горизонте, связность горизонта, асимптотическая плоскость и глобальный вакуум. То есть, с некоторой долей физической веры, мы можем построить аргументы в пользу того, что как разумное, глобально строго вакуумное и асимптотически плоское пространство-время пространство-время Керра уникально.

Однако мы не знаем никакого разумного решения материи, которое соответствовало бы керровскому пространству-времени в качестве «внешнего» решения. Герох даже предположил, что не существует «внутреннего» решения метрики Керра, т. е. звезды, не являющейся черной дырой, которая сводилась бы к метрике Керра вне ее поверхности. (Я лично считаю, что гипотеза Героха верна.)

На практике, когда мы строим решения нейтронных звезд, мы обнаруживаем, что они всегда отличаются от керровского случая квадрупольным и более высокими массово-мультипольными импульсами пространства-времени, и нам приходится сопоставлять их с приближенно построенными некерровскими метриками. Т.е. когда мы глобально не бессодержательны, однозначность Керра нарушается.

Существует даже довольно известный класс решений , выведенный Манко и Новиковым в 1992 г. , которые позволяют присвоить произвольным значениям все бесконечные асимптотические значения масс-мультипольных импульсов. Однако это происходит за счет странных сингулярностей на горизонте и/или сингулярных источников материи за его пределами. Если вам нужна более простая игровая площадка для интуиции, вы можете проверить осесимметричную и статическую метрику Вейля , где вы можете подключить любой ньютоновский (осесимметричный и стационарный) гравитационный потенциал, чтобы создать новое пространство-время, отклоняющееся от Керра в своем вакууме. регионы.

Нет. Ключевым моментом является (в общем) ненулевое значение мод мультиполей.

С физической точки зрения следует подчеркнуть, что для вращающегося пространства-времени не существует теоремы Биркгофа — неверно, что геометрия пространства-времени в области вакуума вне общей вращающейся звезды (или планеты) является частью геометрии Керра. Наилучший результат, который можно получить, — это гораздо более мягкое утверждение о том, что вне вращающейся звезды (или планеты) геометрия асимптотически приближается к геометрии Керра. Основная проблема состоит в том, что в керровской геометрии все мультипольные моменты очень тесно связаны друг с другом, тогда как в реальных физических звездах (или планетах) массовые квадрупольные, октопольные и высшие моменты распределения масс в принципе могут быть заданы независимо друг от друга. Конечно, из электромагнетизма вы помните, что более высокие n-полюсные поля падают как 1/r^{2+n}, так что вдали от объекта преобладают самые низкие мультиполи, именно в этом асимптотическом смысле геометрия Керра актуальна для вращающихся звезд или планет. С другой стороны, если звезда (или планета) гравитационно коллапсирует, то в классическом случае может образоваться черная дыра. В этом случае существует ряд мощных теорем единственности, которые гарантируют прямую физическую значимость пространства-времени Керра, но как уникальное точное решение, соответствующее стационарным вращающимся черным дырам (в отличие от простого асимптотического решения дальнего поля вращающихся черных дыр). звезды или планеты)

Источник: Виссер (2008 г.)