Каков физический смысл связности и тензора кривизны?

Самый простой способ объяснить символ Кристоффеля — посмотреть на них в плоском пространстве. Обычно лапласиан скаляра в трех плоских измерениях:

$$\nabla^{a}\nabla_{a}\phi = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}$$

Но это не так, если я переключаюсь с$(x,y,z)$система координат к цилиндрическим координатам$(r,\theta,z)$. Теперь лапласиан становится:

$$\nabla^{a}\nabla_{a}\phi=\frac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial \theta^{2}}\right)+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}-\frac{1}{r}\left(\frac{\partial\phi}{\partial r}\right)$$

Самое важное, на что следует обратить внимание, это последнее слагаемое выше — теперь у вас есть не только вторые производные от$\phi$, но теперь у вас также есть термин, включающий первую производную от$\phi$. Именно это и делает символ Кристоффеля. В общем случае оператор Лапласа:

$$\nabla_{a}\nabla^{a}\phi = g^{ab}\partial_{a}\partial_{b}\phi - g^{ab}\Gamma_{ab}{}^{c}\partial_{c}\phi$$

В случае цилиндрических координат дополнительный член кодирует тот факт, что система координат не является однородной, в оператор производной — поверхности при постоянных$r$намного больше вдали от начала координат, чем вблизи него. В случае искривленного пространства (времени) символы Кристоффеля объясняют неоднородности/кривизну/что угодно самого пространства (времени).

Что касается тензоров кривизны, то они являются сокращениями друг друга. Тензор Римана — это просто антикоммутатор производных операторов:$R_{abc}{}^{d}\omega_{d} \equiv \nabla_{a}\nabla_{b}\omega_{c} - \nabla_{b}\nabla_{a} \omega_{c}$. Он измеряет, насколько отличается параллельный перевод вектора/одной формы, если вы идете в направлении 1, а затем в направлении 2 или в обратном порядке. Однако с тензором Римана неудобно работать, поскольку он имеет четыре индекса. Однако оказывается, что он антисимметричен по первым двум и последним двум индексам, поэтому на самом деле есть только одно сжатие (сжатие = умножение на метрический тензор и суммирование по всем индексам), которое можно сделать на нем,$g^{ab}R_{acbd}=R_{cd}$, и это определяет тензор Риччи. Скаляр Риччи - это просто дальнейшее сокращение этого,$R=g^{ab}R_{ab}$.

Теперь, благодаря специальной теории относительности, Эйнштейн уже знал, что материя должна быть представлена ​​тензором с двумя индексами, который объединяет давления, потоки и плотности распределения материи. Это распределение материи, если оно имеет физический смысл, также должно удовлетворять уравнению неразрывности:$\nabla_{a}T^{ab}=0$, что в основном говорит о том, что материя не создается и не разрушается в распределении, и что скорость изменения тока во времени является градиентом давления. Когда Эйнштейн записывал свои уравнения поля, он хотел, чтобы некоторая величина, созданная из метрического тензора, также удовлетворяла этому (назовем это$G^{ab}$) положить равным$T^{ab}$. Но это означает, что$\nabla_{a}G^{ab} =0$. Оказывается, существует только одна такая комбинация термов, включающая первую и вторую производные метрического тензора:$R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} + \Lambda g_{ab}$, куда$\Lambda$произвольная константа. Итак, это то, что Эйнштейн выбрал для своего уравнения поля.

В настоящее время,$R_{ab}$имеет то же число показателей, что и тензор энергии-импульса. Таким образом, взмахом руки взгляните на то, что$R_{ab}$означает сказать, что он сообщает вам «часть кривизны», которая возникает из-за присутствия материи. Где же остаются остальные компоненты$R_{abc}{}^{d}$на котором$R_{ab}$не зависит? Что ж, самый простой способ (не СОВЕРШЕННО правильный, но самый простой) — назвать эти части кривизны, полученные из динамики самого гравитационного поля — например, пустое пространство-время, содержащее только гравитационное излучение, будет удовлетворять$R_{ab}=0$но также будет иметь$R_{abc}{}^{d}\neq 0$. То же самое для пространства-времени, содержащего только черную дыру. Эти дополнительные компоненты$R_{abc}{}^{d}$дать вам информацию о гравитационной динамике пространства-времени, независимо от того, какую материю содержит пространство-время.

Это становится длинным, поэтому я оставлю это на этом.

Связь имеет физический смысл --- это гравитационное поле. Метрика - гравитационный потенциал.

Тот факт, что символы Кристоффеля не являются тензорами, не меняет того факта, что они имеют смысл. Их можно заставить исчезнуть в любой точке с помощью преобразования координат, но в ОТО это просто говорит о том, что вы можете заставить гравитационное поле исчезнуть, выбрав свободно падающую систему координат. Это физическое утверждение о гравитационном поле.

Закон преобразования для символов Кристоффеля хорошо определен, и один из способов представить математическую концепцию абстрактной связи — это идентифицировать два разных описания символов, когда они отличаются только преобразованием координат. Абстрактная связь не имеет значения в точке, но имеет значения голономии на петлях.

В общековариантной теории нет локальных калибровочно-инвариантных наблюдаемых, поэтому вам приходится довольствоваться преобразованиями координат, такими как метрический тензор и связность.

Обратите внимание, что символы Кристоффеля не имеют физического смысла , поскольку они не являются тензорами. Всегда можно выбрать локальные координаты так, чтобы все$\Gamma$исчезнуть.

Но их математический смысл в том, что они образуют псевдотензор. Технически, если у нас есть две ковариантные производные$\nabla_1$а также$\nabla_2$тогда их разница$\Gamma := \nabla_1 - \nabla_2$удовлетворяет некоторым хорошим математическим свойствам (а именно, что это ультралокальный оператор), поэтому его действие на любой объект является локальным и может быть представлено тензором.

За$\nabla_1$мы обычно берем интересующую нас ковариантную производную (например, метрическую ковариантную производную с нулевым кручением, индуцированным некоторым метрическим тензором$g$). За$\nabla_2$есть два общих (и широко используемых) варианта. Можно либо использовать координатную ковариантную производную$\partial$(который аннулирует координатный вектор${\partial \over \partial x}$и ковекторные поля${\rm d} x$и это дает обычное выражение$\nabla = \partial + \Gamma_{Christoffel}$. Другой выбор (который обобщает предыдущий) представляет собой ковариантную производную$\bar \partial$который аннулирует некоторую тетраду$e$(в предыдущем случае мы имели тетраду${\rm d} x$что очень специфично; для общей тетрады не обязательно должны существовать ассоциированные координаты). Это приводит к тетрадному формализму и пишется$\nabla = \bar \partial + \gamma$куда$\gamma$– коэффициенты вращения Риччи.

Что касается тензора Римана, то это снова тензорное представление ультралокального оператора, а именно оператора кривизны$R(u, v)$. Это черный ящик, который принимает два векторных поля (рассматриваемых как направление) и возвращает ультралокальный оператор, который сообщает вам, насколько пространство искривляется в этих направлениях. Точнее, он говорит вам, что происходит с вектором, если вы параллельно транспортируете его по бесконечно малому многоугольнику.$0 \to u \to u+v \to v \to [u,v] \to 0$; его можно рассматривать как квадрат, за исключением того, что два поля не должны замыкаться, и это измеряется их коммутатором.$[u, v]$. Таким образом, вы можете выразить это как$R(e_a, e_b) e_c = {R_{abc}}^d e_d$и вы получите обычный тензор Римана.

Теперь из-за (а) симметрии тензора Римана возможны два неэквивалентных сжатия. Один из них — след${R_{abc}}^c$и это можно тривиально увидеть равным нулю для тензора Римана, полученного из связности Леви-Чивиты (в более общем случае для связностей, сохраняющих элементы объема). Другое сокращение,${R_{abc}}^a$дает тензор Риччи. Это будет симметрично для связности Леви-Чивиты (поскольку след тензора Римана равен нулю, а кручение равно нулю).

Один полезный (хотя и вполне математический) взгляд на тензор Риччи - это «лапласиан метрики»,$R_{ij} \sim -{1 \over 2}\Delta g_{ij}$и по аналогии с тепловыми потоками это относится к потокам Риччи, которые являются основным инструментом, используемым при изучении гипотезы Пуанкаре.

Геометрический смысл тензора Риччи состоит в том, что он измеряет деформацию элемента объема в нормальных геодезических координатах. Это координаты, которые можно получить вокруг любой точки, если параметризовать окрестности геодезическими потоками. Таким образом, тензор Риччи измеряет, как геодезические становятся более плотными или разреженными вокруг точки в заданном направлении. Подумайте о том, что сфера с положительной кривизной имеет меньший объем, потому что ее геодезические сходятся (они представляют собой большие окружности на сфере), чем гиперболическое пространство с отрицательной кривизной, где геодезические расходятся (существует бесконечно много прямых линий, параллельных данной линии). В частности, Риччи-плоские многообразия (являющиеся решениями вакуумных уравнений Эйнштейна с нулевой космологической постоянной) ведут себя в этом отношении как обычное евклидово пространство.

На эти темы можно еще многое сказать, но я надеюсь, что это будет хоть немного полезно для вас.

Что касается «физического значения» символов Кристоффеля, то в определенном смысле они не имеют физического значения, потому что информация, которую они кодируют, на самом деле является информацией не о кривизне пространства, а о геометрии системы координат, в которой вы работаете. повторное использование для описания пространства.

Что касается интуитивных представлений о них, то они кодируют, насколько изменяются базисные векторные поля при бесконечно малых изменениях используемых координат. Поэтому в плоском пространстве (т.е. локально) их всегда можно сделать нулевыми: преобразовать в систему координат, в которой базисные векторные поля не меняются от точки к точке.

Чтобы узнать, как искривляется пространство-время, вы можете посмотреть, как метрическая функция меняется от точки к точке. Чтобы убедиться в этом, вы можете посмотреть, как изменяются базисные векторы от точки к точке (поскольку метрика полностью определяется базисными векторами). Это информация, которую кодирует символ Кристоффеля.