Да. И универсальные покрытия, и центральные расширения, возникающие при квантовании, исходят из одной и той же фундаментальной концепции:

Проективные представления

Если$\mathcal{H}$— наше гильбертово пространство состояний, то различные физические состояния не являются векторами $\psi\in\mathcal{H}$, а лучи , так как умножение на комплексное число не меняет математических ожиданий, заданных правилом

$$\langle A\rangle_\psi = \frac{\langle \psi \vert A \vert \psi \rangle}{\langle \psi \vert \psi \rangle}$$ ни вероятности перехода $$P(\lvert \psi \rangle \to \lvert \phi \rangle) = \frac{\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle\rvert^2}{\langle \phi \vert \phi \rangle\langle \psi \vert \psi \rangle}$$ Подходящим пространством для рассмотрения, где каждый элемент пространства действительно является отдельным физическим состоянием, является проективное гильбертово пространство . $$\mathrm{P}\mathcal{H} := \mathcal{H} /\sim$$ $$\lvert \psi \rangle \sim \lvert \phi \rangle :\Leftrightarrow \exists c\in\mathbb{C}: \lvert \psi \rangle = c\lvert\phi\rangle$$ это просто причудливый способ написать, что каждый сложный луч был сжат до точки. По теореме Вигнера каждая симметрия должна иметь некоторое, не обязательно уникальное, унитарное представление$\rho : G \to \mathrm{U}(\mathcal{H})$. Поскольку он должен спускаться к четко определенному лучевому преобразованию , действие симметрии задается групповым гомоморфизмом в проективную унитарную группу $G \to \mathrm{PU}(\mathcal{H})$, который находится в точной последовательности $$1 \to \mathrm{U}(1) \to \mathrm{U}(\mathcal{H}) \to \mathrm{PU}(\mathcal{H}) \to 1$$ куда$\mathrm{U}(1)$представляет собой «группу фаз», которая выделяется при переходе в проективное пространство. Уже важно заметить, что это означает$\mathrm{U}(\mathcal{H})$является центральным продолжением$\mathrm{PU}(\mathcal{H})$по$\mathrm{U}(1)$.

Классифицировать все возможные квантово-разрешенные представления группы симметрии$G$, нам нужно понять допустимые гомоморфизмы групп Ли$\sigma : G\to\mathrm{PU}(\mathcal{H})$. Поскольку с линейными представлениями работать приятнее, чем с этими странными проективными штуками, мы рассмотрим

Классификация проективных представлений по унитарным линейным представлениям

Для любого$g\in G$, выберите представителя$\Sigma(g)\in\mathrm{U}(\mathcal{H})$для каждого$\sigma(g)\in\mathrm{PU}(\mathcal{H})$. Этот выбор весьма не уникален и по существу отвечает за то, как отображается центральное расширение. Теперь, поскольку для любого$g,h\in G$у нас есть$\sigma(g)\sigma(h) = \sigma(gh)$, выбор представителей должен выполнять

$$\Sigma(g)\Sigma(h) = C(g,h)\Sigma(gh)$$ для некоторых$C : G\times G\to\mathrm{U}(1)$. Применение ассоциативности к$\Sigma(g)\Sigma(h)\Sigma(k)$дает требование согласованности $$C(g,hk)C(h,k) = C(g,h)C(gh,k)\tag{1}$$ который также называется тождеством коцикла . Для любого другого выбора$\Sigma'$, мы должны иметь $$\Sigma'(g) = f(g)\Sigma(g)$$ для некоторых$f : G \to \mathrm{U}(1)$.$\Sigma'$имеет связанный$C'$, и так мы получаем $$C'(g,h)\Sigma'(gh) = \Sigma'(g)\Sigma'(h) = f(g)f(h)C(g,h)f(gh)^{-1}\Sigma'(gh)$$ что дает требование согласованности $$C'(g,h)f(gh) = f(g)f(h)C(g,h)\tag{2}$$ Поэтому проективные представления классифицируются, давая выбор унитарных представителей$\Sigma$, а те, которые связаны$(2)$дают такое же проективное представление. Формально набор $$H^2(G,\mathrm{U}(1)) := \{C : G\times G \to \mathrm{U}(1)\mid C \text{ fulfills } (1)\} / \sim$$ $$C \sim C' :\Leftrightarrow \exists f : (2) \text{ holds }$$ классифицирует проективные представления$G$. Мы хотим использовать его для построения унитарного представления чего-то, что классифицирует проективное представление:

Определить полупрямой продукт $G_C := G \ltimes_C \mathrm{U}(1)$для любого представителя$C$элемента в$H^2(G,\mathrm{U}(1)$предоставляя продукт Cartesion$G \times \mathrm{U}(1)$с умножением

$$(g,\alpha)\cdot(h,\beta) := (gh,\alpha\beta C(g,h))$$ Можно проверить, что это центральное расширение, т. е. образ$\mathrm{U}(1)\to G \ltimes_C\mathrm{U}(1)$находится в центре$G_C$, а также $$1 \to \mathrm{U}(1) \to G_C \to G \to 1$$ точно. Для любого проективного представления$\sigma$, исправить$\Sigma,C$и определим линейное представление $$\sigma_C : G_C \to \mathrm{U}(\mathcal{H}), (g,\alpha) \mapsto \alpha\Sigma(g)$$ Обратно, каждое унитарное представление$\rho$некоторых$G_C$дает пару$\Sigma,C$по$\Sigma(g) = \alpha^{-1}\rho(g,\alpha)$.

Следовательно, проективные представления взаимно биективны с линейными представлениями центральных расширений.

На уровне алгебр Ли имеем$\mathfrak{u}(\mathcal{H}) = \mathfrak{pu}(\mathcal{H})\oplus\mathbb{R}$, где базовый элемент$\mathrm{i}$из$\mathbb{R}$генерирует кратные идентификаторы$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mathrm{Id}$. Мы опускаем$\mathrm{Id}$в дальнейшем всякий раз, когда к элементу алгебры Ли добавляется действительное число, подразумевается, что оно умножается на него.

Повторяя приведенные выше рассуждения для алгебр Ли, получаем, что проективное представление$\sigma : G \to \mathrm{PU}(\mathcal{H})$индуцирует представление алгебры Ли$\phi : \mathfrak{g}\to\mathfrak{pu}(\mathcal{H})$. Выбор представителей$\Phi$в$\mathfrak{u}(H)$классифицирует такое проективное представление вместе с элементом$\theta$в

$$H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R}) := \{\theta : \mathfrak{g}\times\mathfrak{g} \to \mathbb{R}\mid \text{ fulfills } (1') \text{ and } \theta(u,v) = -\theta(v,u)\} / \sim$$ $$\theta \sim \theta' :\Leftrightarrow \exists (b : \mathfrak{g}\to\mathbb{R}) :\theta'(u,v) = \theta(u,v) + b([u,v])$$ с условием согласованности $$\theta([u,v],w) + \theta ([w,u],v) + \theta([v,w],u) = 0 \tag{1'}$$ что$\theta$по существу уважает тождество Якоби.

Таким образом, проективное представление$\mathfrak{g}$классифицируется по$\Phi$вместе с$\theta\in H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R})$. Здесь центральное расширение определяется$\mathfrak{g}_\theta := \mathfrak{g}\oplus\mathbb{R}$со скобкой Ли

$$[u\oplus y,v\oplus z] = [u,v]\oplus\theta(u,v)$$ и мы получаем линейное представление его в$\mathfrak{u}(\mathcal{H})$по $$\phi_\theta(u\oplus z) := \Phi(u) + a$$

Снова получаем биекцию между проективными представлениями$\mathfrak{g}$и его центральных расширений$\mathfrak{g}_\theta$.

Универсальные крышки, центральные заряды

Мы, наконец, в состоянии решить, какие репрезентации$G$мы должны разрешить квантово. Мы различаем три случая:

1. Не существует нетривиальных центральных расширений ни$\mathfrak{g}$или же$G$. В этом случае все проективные представления$G$уже заданы линейными представлениями$G$. Это касается, например,$\mathrm{SU}(n)$.

2. Нет нетривиальных центральных расширений$\mathfrak{g}$, но есть дискретные центральные расширения$G$по$\mathbb{Z}_n$вместо$\mathrm{U}(1)$. Те, очевидно, также спускаются к проективным представлениям$G$. Центральные расширения групп Ли с помощью дискретных групп являются просто покрывающими их группами, поскольку универсальное покрытие$\overline{G}$дает группе$G$как частное$\overline{G}/\Gamma$дискретной центральной подгруппой$\Gamma$изоморфна фундаментальной группе накрытой группы. Таким образом, мы получаем, что все проективные представления$G$задаются линейными представлениями универсального покрытия. Центральных зарядов не происходит. Это касается, например,$\mathrm{SO}(n)$.

3. Существуют нетривиальные центральные расширения$\mathfrak{g}$, а следовательно, и$G$. Если элемент$\theta\in H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R})$не равен нулю, имеется центральный заряд - генератор$\oplus\mathbb{R}$в$\mathfrak{g}_\theta$, или, что то же самое, сохраняющийся заряд, принадлежащий центральной подгруппе$\mathrm{U}(1)\subset G_C$. Это происходит для алгебры Витта, где неэквивалентные$\theta(L_m,L_n) = \frac{c}{12}(m^3 - m)\delta_{m,-n}$классифицируются по действительным числам$c\in \mathbb{R}$.