Космическая граница AdS и геодезические данные

Насколько я понял, похоже, вы хотите знать, могут ли времениподобные геодезические достичь конформной границы AdS. Если это так (пожалуйста, подтвердите), то ответ будет отрицательным — никакая времяподобная геодезическая не может достичь конформной бесконечности, она скорее периодически перефокусируется обратно в объем. Вам нужны времениподобные кривые, которые имеют некоторое ускорение, чтобы избежать этого. С другой стороны, максимально протяженные нуль-геодезические (т.е. световые лучи) всегда достигают конформной бесконечности как в прошлом, так и в будущем. Иллюстрацию этих фактов с помощью диаграмм Пенроуза можно найти, например, в разделе 5.2, стр. 131-134 книги С.В. Хокинга и Г.Ф.Р. Эллиса "Большемасштабная структура пространства-времени" (Кембридж, 1973).

Подробные рассуждения, лежащие в основе приведенного выше абзаца, можно рассматривать в глобальном геометрическом плане. В дальнейшем я в значительной степени буду следовать аргументам, представленным в книге Б. О'Нила «Полуриманова геометрия — с приложениями к теории относительности» (Academic Press, 1983), особенно в предложении 4.28 и последующих замечаниях, стр. 112. -113. Для тех, у кого нет доступа к книге О'Нила, я представлю самодостаточный аргумент во всех подробностях. Я воспользуюсь тем, что$AdS_4$является универсальным накрытием вложенного гиперболоида$H_m$($m>0$) в$\mathbb{R}^{2,3}=(\mathbb{R}^5,\eta)$

$$H_m=\{x\in\mathbb{R}^5\ |\ \eta(x,x)\doteq -x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2=-m\}\ .$$

Карта покрытия$\Phi:AdS_4\ni(t,r,\theta,\phi)\mapsto (x_0,x_1,x_2,x_3,x_4)\in H_m\subset\mathbb{R}^{2,3}$по глобальным координатам$(t\in\mathbb{R},r\geq 0,0\leq\theta\leq\pi,0\leq\phi<2\pi)$дан кем-то

$$x_0=\sqrt{m(1+r^2)}\sin t\ ;$$ $$x_1=\sqrt{m}r\sin\theta\cos\phi\ ;$$ $$x_2=\sqrt{m}r\sin\theta\sin\phi\ ;$$ $$x_3=\sqrt{m}r\cos\theta\ ;$$ $$x_4=\sqrt{m(1+r^2)}\cos t\ .$$

Обратный образ объемлющей плоской псевдоримановой метрики$\eta$определено выше (с подписью$(-+++-)$) по$\Phi$после ограничения на$H_m$дает$AdS_4$метрика в форме, указанной в вопросе, и в приятном ответе Педро Фигероа до постоянного положительного коэффициента:

$$ds^2= m\left[-(m+r^2)dt^2+(m+r^2)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right]\ .$$

Конформное пополнение$AdS_4$, в свою очередь, получается заменой радиальной переменной$u=\sqrt{m+r^2}-r$, чтобы$r=\frac{m-u^2}{2u}$,$dr=-\frac{1}{u}(\frac{m+u^2}{2u})du$а также$m+r^2=(\frac{m+u^2}{2u})^2$, уступая

$$ds^2=\frac{m}{u^2}\left[-\left(\frac{m+u^2}{2}\right)^2dt^2+du^2+\left(\frac{m-u^2}{2}\right)^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right]\ .$$

Конформная бесконечность достигается взятием$r\rightarrow+\infty$, что то же самое, что$u\searrow 0$. Перемасштабированная метрика$\Omega^2 ds^2$,$\Omega=m^{-\frac{1}{2}}u$дает трехмерную статическую вселенную Эйнштейна в качестве конформной границы (т.е.$u=0$).

Понятно, что$H_m$есть множество уровня функции$f:\mathbb{R}^5\rightarrow\mathbb{R}$данный$f(x)=\eta(x,x)$. Следовательно, векторное поле$X_x=\frac{1}{2}\mathrm{grad}_\eta f(x)=x$(куда$\mathrm{grad}_\eta$оператор градиента, определенный относительно$\eta$) везде нормально$H_m$- то есть любой касательный вектор$X_x\in T_x H_m$удовлетворяет$\eta(X_x,T_x)=0$. Даны два векторных поля$T,S$касательной к$H_m$, внутренняя ковариантная производная$\nabla_T S$на$H_m$просто задается тангенциальной составляющей объемлющей (плоской) ковариантной производной$(\partial_T S)^a=T^b\partial_b S^a$:

$$\nabla_T S=\partial_T S-\frac{\eta(X,\partial_T S)}{\eta(X,X)}X=\partial_T S+\frac{\eta(X,\partial_T S)}{m}X\ .$$

Нормальный компонент$\partial_T S$, в свою очередь, имеет особую форму в силу природы$H_m$(Заметь$\partial_a X^b=\partial_a x^b=\delta^b_a$):

$$\eta(X,\partial_T S)=\underbrace{\partial_T(\eta(X,S))}_{=0\ ;}-\eta(S,\partial_T X)=-\eta(S,T)\ \Rightarrow\ \frac{\eta(X,\partial_T S)}{\eta(X,X)}X=\frac{\eta(S,T)}{m}X\ .$$

Таким образом, мы заключаем, что кривая$\gamma:I\ni\lambda\mapsto\gamma(\lambda)\in H_m$($I\subset\mathbb{R}$— интервал с непустой внутренностью) — геодезическая$H_m$если и только если$\frac{d^2\gamma(\lambda)}{d\lambda^2}(\lambda)\doteq\ddot{\gamma}(\lambda)$везде нормально$H_m$, то есть,

$$\ddot{\gamma}(\lambda)=-\frac{1}{m}\eta(\ddot{\gamma}(\lambda),X_{\gamma(\lambda)})X_{\gamma(\lambda)}=\frac{1}{m}\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))X_{\gamma(\lambda)}=\frac{1}{m}\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))\gamma(\lambda)\ .$$

В частности, если$\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=0$, тогда$\gamma$также является (нулевой) геодезической в ​​объемлющем пространстве$\mathbb{R}^{2,3}$.

Данный$x\in H_m$, линейный диапазон$X_x=x$и любой касательный вектор$T_x\neq 0$к$H_m$в$x$определяет 2-плоскость$P(T_x)$через происхождение$\mathbb{R}^5$и содержащий$x$. Другими словами,

$$P(T_x)=\{\alpha X_x +\beta T_x\ |\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}\ ,$$

и поэтому

$$P(T_x)\cap H_m=\{y=\alpha X_x+\beta T_x\ |\ \eta(y,y)=-\alpha^2 m+\beta^2\eta(T_x,T_x)=-m\}\ .$$

Это позволяет уже классифицировать$P(T_x)\cap H_m$по причинно-следственному характеру$T_x$:

• $T_x$времениподобный (т.е.$-k=\eta(T_x,T_x)<0$): у нас есть это$m\alpha^2+k\beta^2=m$с$k,m>0$, следовательно$P(T_m)\cap H_m$представляет собой эллипс;
• $T_x$космический (т.е.$k=\eta(T_x,T_x)>0$): у нас есть это$m\alpha^2-k\beta^2=m$с$k,m>0$, следовательно$P(T_m)\cap H_m$представляет собой пару гипербол, одна из которых$\alpha>0$а другой с$\alpha<0$. Смысл$x=X_x$принадлежит первой гиперболе;
• $T_x$светоподобный (т.е.$\eta(T_x,T_x)=0$): у нас есть это$\alpha^2=1$с$\beta$произвольно, следовательно$P(T_m)\cap H_m$представляет собой пару прямых линий, заданных$\alpha=1$а другой по$\alpha=-1$. Смысл$x=X_x$принадлежит первой линии. Обратите внимание, что каждая из этих линий является нулевой геодезической как в$H_m$И в$\mathbb{R}^{2,3}$!

Более того,$x=\gamma(0)$а также$T_x=\dot{\gamma}(0)$определить общее начальное условие для геодезической$\gamma$начинается с$x$. Остается показать, что любая кривая, остающаяся в$P(T_x)\cap H_m$является геодезической в$H_m$. Это явно верно для$T_x$светоподобны, так как в этом случае мы уже заключили, что$\gamma(\lambda)=x+\lambda T_x$для всех$\lambda\in\mathbb{R}$. В остальных случаях (т.$\eta(T_x,T_x)\neq 0$), рассмотрим$\mathscr{C}^2$изгиб$\gamma$в$P(T_x)\cap H_m$начиная с$\gamma(0)=x$с$\dot{\gamma}(0)=\dot{\beta}(0)T_x$(мы предполагаем, что$\dot{\gamma}(\lambda)\neq 0$для всех$\lambda$). Пишу$\gamma(\lambda)=\alpha(\lambda)X_x+\beta(\lambda)T_x$, делаем вывод из вышеприведенной классификации$P(T_x)\cap H_m$что мы можем выбрать параметр$\lambda$чтобы

• $T_x$времяподобный:$\alpha(\lambda)=\cos\lambda$,$\beta(\lambda)=\sqrt{-\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}\sin\lambda$, чтобы$\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=-m$с$\dot{\beta}(0)=\sqrt{-\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}$;
• $T_x$космический:$\alpha(\lambda)=\cosh\lambda$,$\beta(\lambda)=\sqrt{\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}\sinh\lambda$, чтобы$\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=+m$с$\dot{\beta}(0)=\sqrt{\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}$.

В обоих случаях делаем вывод, что

$$\ddot{\gamma}(\lambda)=\frac{\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))}{m}\gamma(\lambda)\ ,$$

то есть$\gamma$должно удовлетворять геодезическому уравнению в$H_m$с выбранной параметризацией, по желанию. Поскольку любая пара начальных условий для геодезической определяет 2-плоскость через начало координат описанным выше образом, мы заключаем, что результирующая геодезическая в$H_m$останется навсегда в этом 2-м плане. Для дальнейшего использования я замечу, что все геодезические$H_m$пересечь хотя бы один раз плоскость 2$P_0=\{x\in\mathbb{R}^5\ |\ x_1=x_2=x_3=0\}$- это легко увидеть из классификации наборов$P(T_x)\cap H_m$. Это позволяет задавать начальные условия в $P_0$для всех геодезических в$H_m$.

Теперь у нас есть полное знание геодезических в фундаментальной области.$H_m$из$AdS_4$. Что происходит, когда мы возвращаемся к универсальному покрытию? Происходит то, что подъемы пространственноподобных и светоподобных геодезических остаются ограниченными одной копией фундаментальной области, тогда как подъемы времениподобных геодезических — нет. Чтобы увидеть это, мы воспользуемся тем фактом, что переводы во временной координате$t$являются изометрии и замечание в конце предыдущего абзаца, чтобы установить

$$\gamma(0)=X_x=x=(0,0,0,0,\sqrt{m})$$ в $H_m$(т.е. $\gamma$сделано, чтобы начать с $P_0$с $t=0$), чтобы $$\dot{\gamma}(0)=T_x=(y_0,y_1,y_2,y_3,0)\ .$$ Мы также нормализуем $\eta(T_x,T_x)$к $-m$, $+m$или ноль в зависимости от того, $T_x$соответственно времениподобна, пространственноподобна или светоподобна. Пишу еще раз $\gamma(\lambda)=\alpha(\lambda)X_x+\beta(\lambda)T_x$, воспользуемся классификацией геодезических в $H_m$по их причинному характеру писать явные формулы для $\gamma$:

• $T_x$похожий на время$\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=(\cos\lambda)X_x+(\sin\lambda)T_x$;
• $T_x$космический$\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=(\cosh\lambda)X_x+(\sinh\lambda)T_x$;
• $T_x$легкий$\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=X_x+\lambda T_x$.

Приведенные выражения показывают, что в пространственноподобном и светоподобном случаях последняя компонента$\gamma(\lambda)_4$из$\gamma(\lambda)$никогда не стремится к нулю, что подразумевает непрерывность, что временная координата$t$остается в интервале$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, следовательно, подъем$\gamma$к$AdS_4$остается в пределах единственной копии своего основного домена. Также видно, что пространственные компоненты (1,2,3)$\gamma(\lambda)$уйти в бесконечность как$\lambda\rightarrow\pm\infty$, следовательно$u\rightarrow 0$вдоль этих геодезических как$\lambda\rightarrow\pm\infty$. Во времениподобном случае весь интервал времени$[0,2\pi]$охватывает$\gamma(\lambda)$в качестве$\lambda$охватывает интервал$[0,2\pi]$. Поскольку кривая замкнута, ее подъем на$AdS_4$охватывает всю временную линию$\mathbb{R}$в качестве$\lambda$делает это. С другой стороны, ясно, что в этом случае пространственные компоненты$\gamma(\lambda)$просто продолжайте колебаться в ограниченном интервале координат$r$- следовательно, координата$u$остается отделенным от нуля. Следовательно, времяподобная геодезическая$\gamma$никогда не уходит в конформную бесконечность.

Я начну с нуля. Чтобы получить$AdS_4$метрика$\mathbb{R}^{2,3}$и вложим квадрику

$$-(x^0)^2+(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2-(x^4)^2=-1$$ где 1 в правой части может быть любой положительной константой. Решение (или параметризация) $$(x^0)^2+(x^4)^2=\cosh^2\sigma,\hspace{0.25in}(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2=\sinh^2\sigma$$ с $\sigma\in\mathbb{R}^+$, известен как глобальные координаты (поскольку он покрывает всю квадрику), а индуцированная метрика принимает форму $$ds^2=-\cosh^2\sigma\,dt^2+d\sigma^2+\sinh^2\sigma\,d\zeta^2\tag{1}$$ с $t\in\mathbb{R}$для универсального покрытия (чтобы не возникало замкнутых времениподобных кривых) и $d\zeta^2$метрика $S^2$. С изменением координат $r=\sinh\sigma$метрика принимает вид $$ds^2=-f(r)\,dt^2+f^{-1}(r)\,dr^2+r^2\,d\zeta^2,\hspace{0.25in}f(r)=1+r^2\tag{2}$$ с $r\in\mathbb{R}^+$, что просто похоже на то, что вы написали, и как это обычно пишется (вы можете указать, над какими координатами вы работаете), поэтому я просто буду придерживаться этого.

Итак, что вы хотите сделать, так это проверить, что происходит с геодезическими. Таким образом, благодаря вращательной или сферической симметрии, вы можете просто зафиксировать сферу под любыми углами.$S^2$, чтобы$d\zeta^2=0$, неважно, какой вы возьмете, он будет одинаковым; когда люди визуализируют это на диаграмме Пенроуза, они говорят, что каждая точка на диаграмме представляет$S^2$.

Для нулевых геодезических, как$ds^2=0$, взяв аффинный параметр$\lambda$, из (2),

$$(1+r^2)\dot{t}^2=(1+r^2)^{-1}\dot{r}^2\tag{3}$$ Также, как $\partial_t$(имеется в виду вектор с компонентами $V^t=1$, $V^i=0$) является глобальным вектором Киллинга, у вас есть константа $$V_t\dot{t}=g_{t\alpha}V^\alpha\dot{t}=-(1+r^2)\,\dot{t}\equiv-E\tag{4}$$ (который, будучи $t$-трансляционная инвариантность, может рассматриваться как сохраняющаяся энергия). Таким образом, используя (3) и (4), $$E^2=\dot{r}^2$$ а затем для исходящих световых лучей, $$r=E\lambda$$ а также $\lambda\to\infty$в качестве $r\to\infty$, что нормально, так как это означает, что пространство геодезически полно , во всяком случае, используя это решение и (4), вы получаете $$t=\arctan(E\lambda)$$ так что для $\lambda\to\infty$, $t=\pi/2$, так что лучу света требуется конечное координатное время, чтобы достичь бесконечности.

Что касается времениподобных геодезических, вы можете действовать аналогично, установив, например,$ds^2=-1$(т.к. подпись -+++), то, если угодно, по надлежащему времени$\tau$,

$$\dot{r}^2+(1+r^2)-E^2=0$$ что для $r(0)=0$, $\tau\in(-\pi/2,\pi/2)$(существование $r>0$), $$r=\sqrt{E^2-1}|\sin\tau|$$ и поэтому $r$ограничен. Теперь я не делал этого раньше, и я пытаюсь понять, почему, например, если $E=\pm1$, тогда $r=0$(если вообще один набор $ds^2=-\alpha$с $\alpha>0$один получает это за $E=\pm\alpha$), но главное здесь то, что $r$ограничен. Вы можете проверить это также с помощью координатного времени, используя (4).

Если, как вы говорите, вас интересуют черные дыры, возможно, вы могли бы взять показатель Шварцшильда-AdS:$f(r)=1+r^2-\frac{2M}{r}$в (2) и попробуйте то же самое.