Матрица повышения Лоренца для произвольного направления с точки зрения быстроты

Мы получили матрицу повышения Лоренца для повышения в направлении x в классе с точки зрения скорости, которая из Википедии :

Предположим, что ускорение идет по направлению н ^ "=" н Икс я ^ + н у Дж ^ + н г к ^ ,

введите описание изображения здесь

Как мне обобщить это на повышение в любом произвольном направлении и каков результат? Любая помощь наиболее ценится.

Просто сопряжение с матрицами вращения.
Я сам решил эту проблему, поэтому, возможно, мне следует написать ответ. В любом случае спасибо.
Да, вы определенно должны.
@MarkEichenlaub, я разместил ответ, который работает, но меня интересует ваш метод с матрицами вращения. Не могли бы вы дать больше информации об этом?

Ответы (3)

Вы пробовали Википедию - Преобразование Лоренца - Правильные преобразования ?

Я думаю, что это почти то, что вам нужно:

[ с т ′ Икс ′ у ′ г ′ ] "=" [ γ − γ β Икс − γ β у − γ β г − γ β Икс 1 + ( γ − 1 ) β Икс 2 β 2 ( γ − 1 ) β Икс β у β 2 ( γ − 1 ) β Икс β г β 2 − γ β у ( γ − 1 ) β у β Икс β 2 1 + ( γ − 1 ) β у 2 β 2 ( γ − 1 ) β у β г β 2 − γ β г ( γ − 1 ) β г β Икс β 2 ( γ − 1 ) β г β у β 2 1 + ( γ − 1 ) β г 2 β 2 ] [ с т Икс у г ]

Спасибо! Это то, что мне нужно, но мой вопрос в том, как вы получаете это из матриц повышения Лоренца в направлениях x, y и z?

Этот ответ описывает, как преобразовать координаты события в С к С ′ координаты, когда С ′ движется с общей скоростью в → в С рамка.

Используя видео на YouTube «Общее преобразование Лоренца» , это можно сделать следующим образом:

Позволять р → "=" р → ( с т , Икс , у , г ) в С , и это же событие в С ′ быть р → ′ "=" р → ′ ( с т ′ , Икс ′ , у ′ , г ′ ) . С ′ уходит от С со скоростью в → .

Пространственные координаты

Игнорирование с т зависимость р и р ′ а пока пиши р → в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен в → , перпендикулярно к ней.

р → "=" р → ∥ + р → ⊥ .

Поскольку только параллельная компонента в → не является инвариантом Лоренца, мы можем написать:

р → ′ "=" р → ⊥ + γ ( р → ∥ − в → т )

Перепишите, используя р → ⊥ "=" р → − р → ∥ :

р → ′ "=" р → − р → ∥ + γ ( р → ∥ − в → т )

р → ′ "=" р → + ( γ − 1 ) р → ∥ − γ в → т

Письмо р → ∥ как:

р → ∥ "=" р → ⋅ в → ^ в → ^ "=" р → ⋅ в → в → | в → | 2

у нас есть:

р → ′ "=" − γ в → т + р → + ( γ − 1 ) р → ⋅ в → в → | в → | 2

Расширить условия р → ′ :

Икс ′ "=" − γ в Икс т + Икс + ( γ − 1 ) ( Икс в Икс ) | в → | 2 в Икс + ( γ − 1 ) ( у в у ) | в → | 2 в Икс + ( γ − 1 ) ( г в г ) | в → | 2 в Икс

у ′ "=" − γ в у т + у + ( γ − 1 ) ( Икс в Икс ) | в → | 2 в у + ( γ − 1 ) ( у в у ) | в → | 2 в у + ( γ − 1 ) ( г в г ) | в → | 2 в у

г ′ "=" − γ в г т + г + ( γ − 1 ) ( Икс в Икс ) | в → | 2 в г + ( γ − 1 ) ( у в у ) | в → | 2 в г + ( γ − 1 ) ( г в г ) | в → | 2 в г

Зависимость от времени

В стандартной конфигурации, с т зависимость преобразуется как:

с т ′ "=" γ ( с т − в Икс с )

Где в Икс это: компонент ( Икс ) любого события, которое мы преобразуем Лоренцем в направлении движения заштрихованной системы отсчета ( С ′ ), умноженная на скорость ( в ) движения С ′ . Сейчас С ′ не движется в сторону позитива Икс направление больше, поэтому замените в Икс с в → ⋅ р → : это компонент р → в направлении С ′ -движение единичный вектор в → ^ раз скорость в . Итак, у нас есть:

с т ′ "=" γ ( с т − в → ⋅ р → с ) "=" γ с т − γ Икс в Икс с − γ у в у с − γ г в г с

Матричная форма

Приведите приведенные выше уравнения к матричной форме, используя обозначения: β → "=" в → с и β "=" | β → | :

( с т ′ Икс ′ у ′ г ′ ) "=" ( γ − γ β Икс − γ β у − γ β г − γ β Икс 1 + ( γ − 1 ) β Икс 2 β 2 ( γ − 1 ) β у β Икс β 2 ( γ − 1 ) β г β Икс β 2 − γ β у ( γ − 1 ) β Икс β у β 2 1 + ( γ − 1 ) β у 2 β 2 ( γ − 1 ) β г β у β 2 − γ β г ( γ − 1 ) β Икс β г β 2 ( γ − 1 ) β у β г β 2 1 + ( γ − 1 ) β г 2 β 2 ) ( с т Икс у г )

что также является матрицей, данной в ответе Томаса , так что мы закончили.

Воздействуешь произвольным вращением на буст в одну сторону.

Не могли бы вы уточнить, отредактировав свой ответ?
Матрица повышения Лоренца для произвольного направления с точки зрения быстроты
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v