Рассеяние, возмущение и асимптотические состояния в формуле редукции LSZ

Первый вопрос, который мы должны задать: что такое одночастичное состояние во взаимодействующей теории? Разумно требовать, чтобы они были состояниями, которые являются как собственными импульсами, так и энергетическими состояниями. (Фактически, поскольку гамильтониан и оператор импульса коммутируют, это не два разных условия.) В своем известном учебнике Вайнберг говорит, что состояния частиц - это те, которые преобразуются при неприводимом представлении группы Пуанкаре, но нам не нужно суетиться здесь с группой Пуанкаре.

Все, что мы скажем, это то, что в теории взаимодействия существуют некоторые состояния отдельных частиц, помеченные

где К это четыре импульса, и λ какие еще метки нам нужны для наших частиц. (В этом ответе я буду работать только с реальным скалярным полем, но даже в случае спина 0 все еще могут быть дополнительные данные, которые отличают наши частицы во взаимодействующей теории.)

Теперь мы знаем, знаем, что у нас есть набор импульсов и энергии собственных состояний | λ k⟩ которые представляют собой стабильные частицы нашей теории. Теперь мы можем «размазать» эти состояния определенного импульса в волновые пакеты, используя оконную функцию Гаусса е W которая имеет некоторую неопределенность импульса κ , Мы обозначим эти расплывчатые, приблизительные значения энергии и импульса собственным индексом. W для "окна".

Мы вернемся к этим.

Теперь свободный вакуум | 0⟩ из ЧАС ^ 0 и настоящий вакуум | Ω⟩ из ЧАС ^ = H ^ 0 + H ^ я не очень разные состояния. Частицы во взаимодействующей теории действительно должны быть определены как сформированные из действия «оператора творения» в истинном вакууме, при условии, что мы правильно определяем, что мы подразумеваем под «оператором творения» во взаимодействующей теории.

Чтобы создать аннигиляционные частицы, мы будем использовать внутреннее произведение Клейна Гордона. (Мы подавляем ℏ а также с .)

Мотивация для определения этого заключается в том, что в теории FREE внутренний продукт Клейна Гордона дает нам внутренний продукт между состояниями одной частицы. Если у нас есть два состояния одной частицы (в свободной теории) | Ψ 1 ⟩ а также | Ψ 2 ⟩ , у нас есть

где мы использовали «одночастичные волновые функции» состояний, определенных

Тонкости теории свободного поля вытекают из простой алгебры операторов рождения и уничтожения в сочетании с тем фактом, что оператор уничтожения уничтожает вакуум. Мы попытаемся воссоздать эти отношения, используя внутренний продукт Кляйна Гордона. Однако для этого нам нужно использовать широко разнесенные волновые пакеты.

С этого момента все будет в теории взаимодействия.

Для данной функции ψ Мы определяем операторы создания и уничтожения, которые «создают» состояние, соответствующее этой волновой функции, следующим образом.

(В свободной теории этот оператор создания буквально создал бы одночастичное состояние с волновой функцией единственной частицы ψ 1 .)

(Что-то, что я должен упомянуть об этих операторах, это их временная эволюция. Это точка нотационной путаницы, что ^ † 1 ( т ) явно зависит от времени T при условии, что мы обычно определяем зависимость от времени так, что е я H ^ T О ^ ( т ' ) е - я H ^ T = O ^ ( т ' + т ) , Это не тот случай, здесь.)

Теперь, к сожалению, в теории взаимодействия оператор аннигиляции, определенный выше, не уничтожит вакуум. Тем не менее, мы можем восстановить что-то близкое:

Дело в том, что ∂ T Ω Ω | φ ^ ( т , х ⃗ ) | Ω⟩ = 0 следует непосредственно из того факта, что вакуумное состояние имеет нулевую энергию, поэтому е - я H ^ T | Ω⟩ = | Ω⟩ , Теперь, как мы хотим Ω Ω | ^ 1 ( т ) | Ω⟩ = 0 для любого ψ 1 мы видим, что это достигается тогда и только тогда, когда Ω Ω | φ ^ ( х ) | Ω⟩ = ⟨Ω | φ ^ ( 0 ) | Ω⟩ = 0 , Мы будем считать, что это так.

В свободной теории ⟨0 | ^ 1 ( т ) ^ † 2 ( т ) | 0⟩ = ⟨Ψ 1 | Ψ 2 ⟩ = ( Ψ 1 ψ 2 ) К г , В теории взаимодействия для любого ^ 1 и государство | Ψ 2 ⟩ (не только одно состояние частицы) мы имеем

Помните наши одночастичные состояния? Теперь мы рассмотрим «волновую функцию одной частицы» этих состояний. А именно, они должны быть плоскими волнами.

где С λ константа, которая зависит от λ ,

Теперь мы хотим увидеть, что наши государства ^ † 1 | Ω⟩ связано с этими истинными волновыми пакетами частиц | λ k⟩ W , Для этого посмотрим, каково внутреннее произведение этих двух состояний. Только что из нашей простой алгебры выше, для оператора уничтожения ^ λ 1 К 1 = ( ψ К 1 , ϕ ^ ) К г где К 2 1 = м 2 λ 1 , у нас есть

Мы хотим, чтобы верхнее выражение было ∝ δ λ 1 λ 2 δ 3 ( к 1 - к 2 ) и для нижнего выражения будет 0. Если бы это было так, то единственное состояние одной частицы ^ † К 1 ( т ) | Ω⟩ будет пересекаться с будет | λ 1 К 1 ⟩ , а также ^ К 1 ( т ) может все еще функционально "уничтожить" вакуум, хотя мы должны держать W K λ k | налево. определяющий ω λ k ≡ ( м 2 λ + к 2 ) 1 2 , у нас есть

Верхнее выражение не ∝ δ λ 1 λ 2 δ 3 W ( к 1 - к 2 ) и нижнее выражение не 0 , Тем не менее, если мы примем κ ≪ | К 1 - к 2 | а также взять t → ± ∞ , они есть! Это зависит от нашего предположения, что м λ 1 ≠ м λ 2 если λ 1 ≠ λ 2 , е я т ( … ) член будет сильно колебаться в обоих интегралах, если λ 1 ≠ λ 2 , в результате чего они равны 0. В верхнем интеграле это колебание не происходит, когда λ 1 = λ 2 , Кроме того, верхний интеграл будет незначительным, если К 1 = к 2 , Принимая е W ( k ) → δ 3 ( к ) а также t → ± ∞ предел, теперь мы можем написать

Эти свойства даже важнее, чем я. Это потому что штаты | λ k⟩ так определены: они просто собственные импульсы со всеми необходимыми дополнительными данными λ , Поскольку они диагонализируют оператора импульса, они составляют основу всего нашего пространства состояний! Следовательно, из первого уравнения сразу видно, что

где мы выбрали нормализацию K λ k | λ ' К ' C = C * λ С λ ' ( 2 π ) 3 ( 2 ω λ k ) δ λ λ ' δ 3 ( к - к ' ) , Из второго уравнения сразу видно, что

Очевидно, наши асимптотические операторы создания и уничтожения ведут себя почти так же, как наши старые добрые операторы создания и уничтожения из свободной теории!

Я должен упомянуть еще одно важное свойство: два оператора создания / уничтожения, которые имеют разные λ k данные будут коммутировать. Это является прямым следствием того факта, что наши операторы создания / уничтожения представляют собой пространственные интегралы, взвешенные по волновым пакетам, которые пространственно разделены в большие моменты времени. (Для операторов с одинаковыми К но разные λ , как м λ отличается, волновые пакеты будут распространяться на разных скоростях и все же удастся отделиться.) Обратите внимание, что пространственное разделение является свойством волновых пакетов, но не плоских волн. Это еще одно место, где необходимо рассматривать плоские волны как предел волновых пакетов, чтобы правильно понять вашу теорию. Фактически, операторы не будут коммутировать, если они не определены с помощью этой процедуры ограничения.

Мы наконец готовы определить наши входящие и исходящие многочастичные состояния. Поскольку наши асимптотические операторы создания изменяют только основное состояние в локализованных пространственных областях, и каждое пространственное возбуждение справедливо называют «состоянием частицы», мы можем сказать, что действие с несколькими из них в основном состоянии создаст совершенно хорошее многочастичное состояние. Теперь мы определим наш входящий (созданный в t = - ∞ ) и исходящие (созданные в t = + ∞ ) многочастичные асимптотические состояния.

Четыре импульса К я будет иметь массы К 2 я = м 2 λ я и нет | λ я К я ⟩ разрешено равняться другому. Некоторые люди предпочитают масштабировать φ ^ чтобы скрыть те С λ но я не буду. Природа этих префакторов будет изучена гораздо позже. Важно отметить, что суммарные импульсы этих состояний приблизительно равны сумме всех К я и энергия примерно равна сумме всех ω λ я К я , Это придает больше уверенности в том, что это «многочастичные» состояния.

Теперь, когда мы успешно определили наши входящие и исходящие асимптотические многочастичные состояния и получили некоторые важные свойства наших недавно построенных асимптотических операторов создания и уничтожения, мы завершили структуру, необходимую для получения формулы редукции LSZ. Используя свойства, определенные здесь, вы должны быть в состоянии оправданно пройти через шаги, описанные в Srednicki.

Чтобы ответить на ваши сомнения 2: Для того, чтобы получить состояния, имеющие правильные свойства, нам нужно, чтобы они были волновыми пакетами, которые в значительной степени разделены в далеком прошлом и будущем. Следовательно, эти состояния представляют собой только приблизительно собственные импульсы и энергии (хотя вы можете подобраться так близко, как вы хотите). Поскольку они не являются идеальными энергетическими состояниями, некоторое время произойдет эволюция. Ваши частицы начнут далеко друг от друга, объединятся, начнут взаимодействовать, а затем (разные) частицы уйдут.

TLDR: Если вы правильно определите операторы создания и уничтожения, используя внутреннее произведение Клейна Гордона с широко разнесенными волновыми пакетами в далеком прошлом / будущем, вы получите действительные состояния частиц, когда будете действовать с этими операторами в истинном вакууме. | Ω⟩ ,