В чем разница между информацией о глубине и поверхности?

1) Семантическая информация

Начнем с того, что такое информация. Предположим, у нас есть набор предложений, которые, как мы знаем, истинны, это позволяет нам ответить на (некоторые) вопросы о мире. По мере того, как мы узнаем, что все больше предложений истинны, растет и количество вопросов, на которые мы можем ответить. В эпистемической логике это измеряется определением эпистемического пространства, состоящего из всех возможных миров, и определением его области, где хотя бы одно из известных предложений ложно. Эта фальсифицированная область представляет семантическую информацию, оно растет по мере того, как мы узнаем больше, как и количество вопросов, по которым согласны остальные миры. Эти вопросы решены. Семантическая информация есть совокупность исключенных миров. Область всех миров, кроме одного, актуального мира, представляет собой полную информацию. Эта картина восходит к Карнапу и Бар-Хиллелю (они также возглавляют числовую меру информации, основанную на вероятностной мере в эпистемическом пространстве).

Как мы можем получить новую информацию? Мы можем наблюдать что-то, чтобы быть истинным эмпирически. Но мы также можем вывести новые истинные предложения, используя логику. Увы, вот и боль. Классические возможные миры логически максимальны, если в них истинны некоторые предложения, то верны и все их логические следствия. Хинтикка назвал это «логическим всеведением». Это означает, что мы не получаем никакой новой информации, выводя следствия , миры, в которых они ложны, уже исключены исходными предложениями. Подумайте об этом, при этой концепции, когда Уайлс доказал последнюю теорему Ферма, мы не узнали ничего нового! Это Хинтикка назвал «дедукционным скандалом». Помимо ссылок в комментариях, классическим источником является книга Хинтикки « Логика, языковые игры и информация» .комментарий Сагуильо .

2) Информация о глубине и поверхности

Решение Хинтикки состояло в том, чтобы квалифицировать то, что было описано выше, как информацию о глубине . Это идеальный предел, все, что мы в принципе можем получить из кресла, не делая никаких новых наблюдений. Но некоторые из них зарыты глубоко. Поскольку мы не идеальные агенты, наша способность делать выводы ограничена. Секвойя-Грейсон дает технические детали измерения глубины в своей критике. Приходится использовать определенную формальную систему вывода следствий и особый способ их вывода (это необходимо для однозначного определения глубины), представлять формулы вывода в нормальной форме (с переносом кванторов в пренекс) и считать, сколько новые кванторы добавляются в процессе вывода.

Короче говоря, мы называем следствие глубиной k, если для его получения требуется добавить ровно k кванторов. Это мера нетривиальности следствия. В качественном отношении различие между глубинными и поверхностными следствиями было предвосхищено пирсовским различием следственных и теорематических доказательств, которое, в свою очередь, обобщило различие между «логическими» (силлогистическими) и «геометрическими» (диаграммными) выводами в евклидовых доказательствах, отмеченное еще Аристотель. За глубину k семантической информации мы берем только те миры, где наши базовые предложения и их следствия до этой глубины, фальсифицируются. Поверхностная информация имеет глубину 0, учитываются только тривиальные последствия. Силлогизмы Аристотеля производят только такие следствия. Можно понять, почему Кант считал, что логики недостаточно для математики. Это также означает, что некоторые из наших «возможных» миров на самом деле непоследовательны. До 1995 года математики могли поверить в аксиомы теории множеств и не поверить в последнюю теорему Ферма, они были непоследовательны, но не иррациональны.

3) Глубина евклидовых демонстраций

В другом посте я объяснил, почему решение скандала с дедукцией, предложенное Хинтиккой, не совсем работает, и как оно было исправлено. Является ли проблема логического всеведения неразрешимой? Здесь позвольте мне объяснить, что означает глубина неформально, в частности, в геометрии. Подумайте об аргументах естественного вывода, где переменные могут быть конкретизированы (т. е. для них выбраны общие объекты) и удалены квантификаторы. Чем больше кванторов добавлено, тем больше новых объектов, отсутствующих в посылках или заключении, фигурирует в промежуточных рассуждениях. Это имеет аналог в евклидовых демонстрациях: информацию о поверхности можно считывать непосредственно с диаграммы, изображающей помещения, информация о глубине требует создания вспомогательных линий/окружностей, чем их больше, тем глубже. Вот и сам Хинтикка в«Первое настоящее открытие» К.С. Пирса и его современное значение (1980) :

« То, что делает дедукцию теоретической, согласно Пирсу, заключается в том, что в ней мы должны предусмотреть других индивидов, помимо тех, которые необходимы для конкретизации посылки аргумента. Новые индивиды не нужно визуализировать, как это делают геометрические объекты, введенные евклидовой конструкцией. Однако они должны быть упомянуты и рассмотрены в аргументе.

Как появляются такие новые люди? Пример получается путем преобразования аргументов, используемых в элементарной геометрии, в аргументы, использующие современную символическую логику, особенно теорию квантификации. Тогда каждый новый слой кванторов добавляет новый индивид (геометрический объект) к рассматриваемым нами конфигурациям индивидов. В конце концов, каждый квантор предлагает нам рассмотреть одного человека, пусть и неопределенного. (Квантор существования «(∃x)» может быть прочитан как «существует по крайней мере один индивидуум, назовем его x, такой, что»; и, соответственно, для квантора всеобщего.)

[...]Ключевым открытием Пирса было то, что происходит, когда традиционный полуформальный геометрический аргумент, использующий цифры, преобразуется в явный логический аргумент. Фактически отображаемые цифры, конечно, становятся излишними, но буквы (или комбинации букв), относящиеся к ним, станут свободными переменными (или другими свободными единичными терминами, такими как фиктивные имена, в зависимости от того, как настроена основная логика и какая терминология используется в это в связи с инстанциациями), используемое в формальном аргументе. (См. приведенную выше цитату из Сборника статей 4.616, где Пирс говорит об использовании Евклидом греческих букв в качестве имен собственных для геометрических объектов.) Каждый раз, когда в старый полуформальный аргумент вводится новый геометрический объект, появляется новый свободный единичный термин. вводится в формальном аргументе, как правило, на этапе создания экземпляра.

4) Диаграммный метод Евклида

Поскольку у Евклида не было многоместных предикатов, кванторов, правил конкретизации или любого другого логического механизма, кроме силлогистического, ему приходилось считывать нетривиальные выводы непосредственно из диаграмм, а не логически выводить их из аксиом. Его демонстрации — это не цепочки умозаключений, они просто сопровождаются (поверхностными) умозаключениями. Считывание не так просто, как кажется, даже после выполнения вспомогательных построений нужны проверки общности, чтобы убедиться, что случайные особенности диаграмм не принимаются за чистую монету. Детальным исследованием диаграммного метода Евклида, современной классикой, является Евклидова диаграмма Мандерса (опубликована в отредактированном томе Манкосу , находится в свободном доступе).

Теперь мы также знаем, что «преобразование» Хинтикки в естественную дедукцию тоже не совсем работает. Несмотря на некоторые общие структурные сходства, включая параллелизм глубины, «конфигурационная логика» диаграмм несовместима с естественной дедукцией, см. « Греческий геометрический анализ» Бебуда . Цифры не становятся излишними, а буквы не могут быть прямо отождествлены с инстанцируемыми переменными (поскольку логические единицы не могут пересекаться, в отличие от вспомогательных линий, и нет аналога постулатов построения).

В результате доказательства Евклида не могут быть «переведены» в формальные выводы путем «заполнения пробелов», их приходится перерабатывать, например, а-ля Гильберт. Собственный подход Евклида ближе к семантическому методу современных неформальных доказательств, чем к (формальному) аксиоматическому методу, см. « Делание и показ» Родена (в свободном доступе) и « Аксиоматический метод Рава в теории и на практике ». Более достоверная современная реконструкция, сохраняющая диаграммы как неотъемлемые компоненты демонстрации, была разработана Муммой, см. документы на его домашней странице .