Существуют ли трансляционно-инвариантные гамильтонианы, не являющиеся симметричными по четности?

Существуют ли трансляционно-инвариантные гамильтонианы, не являющиеся симметричными по четности? В первую очередь я думаю о пространстве состояний одной массивной частицы в одном или нескольких измерениях, но я хотел бы намеренно оставить вопрос слегка расплывчатым, чтобы понять, насколько патологический пример вам придется привести, чтобы иметь систему. с такой симметрией.

Более того, меня в основном интересуют системы, не обладающие какой-либо симметрией, которую можно было бы разумно интерпретировать как преобразование четности. Под этим я подразумеваю, что вы можете сделать одномерный гамильтониан, который «нарушает четность», имея

ЧАС "=" 1 2 п 2 + п 0 п
где п 0 является константой, но это явно не так интересно, поскольку вы можете придумать деформированный оператор «четности» вида п ′ "=" е − я п 0 Икс п е я п 0 Икс (т.е. повышение на п 0 , четность и обратное повышение на п 0 ). В этих терминах самым явным маркером успеха будет трансляционно-инвариантный гамильтониан с большими участками невырожденного спектра.

Это возможно? Насколько сильно вам нужно изменить нормальные примеры, чтобы добиться этого?

Изменить: чтобы немного объяснить мотивацию этого вопроса, эта связанная тема вращается вокруг утверждений формы

если ЧАС является трансляционно-инвариантным и | ψ ⟩ является собственной функцией ЧАС , затем | ψ ⟩ также должен быть инвариантным к переводу

которые обычно портятся тем фактом, что трансляционно-инвариантный ЧАС обычно симметрична по четности в этом направлении, что вносит вырождение почти во весь спектр и, следовательно, делает бесполезным обычный аргумент невырожденности.

Итак, трансляционная инвариантность и инверсионная симметрия обычно сочетаются в гамильтонианах реального мира, но они формально независимы, и нет никаких причин, по которым первое не может прийти без второго для «достаточно патологического» гамильтониана. Вопрос здесь в том, что значит «достаточно» после этого патологического? Насколько далеко от проторенной дорожки вам нужно уйти? И сколько желаемых свойств гамильтониана (например, ограниченность снизу или существование основного состояния) можно сохранить при этом?

FWIW, гамильтониан Стандартной модели инвариантен относительно трансляций и нарушает симметрию четности. Я думаю, вы имеете в виду точечную механику вместо QFT.
Что вы имеете в виду под 1Д? Следует ли исключить теории поля в 2D или 4D?
@Arnold Это был просто простой пример в одночастичном QM - я не хочу исключать какую-либо размерность из ответов, хотя я бы предпочел ответы, которые не включают QFT, если это возможно (а если это не так, причины, почему интересный вопрос я сам по себе, и это хорошее место для него).
Выделенный оператор в части редактирования действителен тогда и только тогда, когда собственная функция принадлежит простому собственному значению. Это простая линейная алгебра и не имеет ничего общего с четностью.
@ArnoldNeumaier Да, в этом-то и суть - утверждение в целом явно ложно, как подробно обсуждается в связанной ветке. Связь с четностью заключается в том, что обычно четность является неизбежной причиной, по которой собственное значение не является простым и утверждение неприменимо.
Но даже при четности это неверно, если кратность больше 2!
@ArnoldNeumaier Я не понимаю твоего комментария. Очевидно, что в больших размерностях существуют очень сильно вырожденные гамильтонианы, но простейший нетривиальный трансляционно-инвариантный гамильтониан есть 1 2 п 2 в 1D и имеет кратность 2 из-за четности; общая тема заключается в том, существуют ли какие-либо трансляционно-инвариантные гамильтонианы только с единственными собственными значениями, и, более конкретно, обращение к наиболее очевидному камню преткновения в отношении того, что для естественных гамильтонианов является четностью.
@ArnoldNeumaier И, опять же, если вы сочтете вопрос нежелательным, вы можете проголосовать против / проголосовать за закрытие, как обычно. Однако, насколько я понимаю, ваш ответ помог мне направить мои мысли в правильном направлении, чтобы найти то, что я искал.
существуют ли трансляционно-инвариантные гамильтонианы только с одним собственным значением? Конечно, есть, есть; почти все те, что в моем ответе!

Ответы (2)

Итак, подумаем еще немного об этом и предложим с точки зрения работы с собственными функциями импульса и где разместить их собственные значения таким образом, чтобы избежать как вырождения, так и неограниченности снизу, вот один пример. Работает в л 2 ( р ) , рассмотрим гамильтониан

ЧАС ^ "=" час 0 опыт ⁡ ( а п ^ / ℏ ) "=" час 0 опыт ⁡ ( − я а д д Икс ) ,
где а и час 0 константы с размерностями длины и энергии соответственно, и п ^ — обычный оператор импульса. Этот оператор трансляционно-инвариантен, но, по-видимому, у него непростая связь со своей зеркальной версией (и, что более важно для связанной мотивации, у него нет никаких вырождений).

Более того, спектр ограничен снизу, но, к сожалению, не имеет четкого основного состояния (поскольку последовательность ψ н ( Икс ) "=" е − я н Икс / а имеет собственные энергии час 0 е − н которые асимптотически стремятся к нулю, но никогда его не достигают), и мыслить в терминах гамильтонианов вида ЧАС ^ "=" час 0 ф ( а п ^ / ℏ ) не предлагает каких-либо очевидных способов получить четкое основное состояние без внесения вырождений в спектр.

Таким образом, я буду считать это частичным ответом - надеюсь, может появиться аналогичный пример, который имеет основное состояние.

Как насчет ЧАС "=" 1 2 ( п 1 2 + п 2 2 ) + В ( п , Икс 1 − Икс 2 ) , где В ( п , р ) — произвольная нечетная функция, т. е. В ( − п , − р ) "=" − В ( п , р ) . Должна быть возможность выбора В такое, что никакое калибровочное преобразование не может упростить гамильтониан до инвариантного по четности.

Есть много таких В . Например, все линейные комбинации произведений любого нечетного числа переменных. п 1 , п 2 , р работа. Они зависят от бесконечного множества параметров. В то время как физически естественные упрощающие преобразования, которые позволили бы назвать преобразованную четность все еще разумно рассматривать как четность, имеют всего несколько параметров. Таким образом, для большинства В нет естественного паритета, который бы сохранялся.

Если вам нужна трансляционная инвариантность в 3D, то же самое работает с векторными значениями. п 1 , п 2 , Икс 1 , Икс 2 дня 3.

Какова роль а в этом выражении? Смесь четных кинетических и нечетных потенциальных членов интересна, но не а исчезают после подходящего калибровочного преобразования? (Извините, мой мозг сегодня немного вялый)
Я объясню в своем ответе.
я с нетерпением жду этого В =) - мне это не кажется тривиальным свойством. Если оставить в форме ЧАС "=" 1 2 ( п 1 2 + п 2 2 ) + В ( Икс 1 − Икс 2 ) , хотя, вращаясь в Икс 1 , Икс 2 плоскости, мы можем переформулировать этот гамильтониан как ЧАС "=" 1 2 ( п ~ 1 2 + п ~ 2 2 ) + В ( Икс ~ 1 ) , который не имеет определенной четности на Икс ~ 1 но который имеет одну подходящую четность на Икс ~ 2 , вводя вырождение.
(Подробнее о мотивации см. в отредактированном вопросе.)
@EmilioPisanty: ну, ты полностью изменил вопрос. Это делает ответ неблагодарной сизифовой работой. -- Обратите внимание, что у меня а а затем более общий В просто для того, чтобы такие простые переформулировки не позволили восстановить сохраняющийся паритет.
@ Арнольд Извиняюсь за отсутствие ясности в предыдущем вопросе, и я думаю, что эти неровности изначально были скрыты в нечетких определениях как четности, так и инвариантности перевода. Тем не менее, меня по-прежнему интересуют любые интересные варианты исходного вопроса, особенно если они связаны с более строгим пониманием обоих этих терминов.
Существуют ли трансляционно-инвариантные гамильтонианы, не являющиеся симметричными по четности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v