Скорость и кинетическая энергия, нарушающие теорию относительности Галилея

Во всех ваших цифрах вы имеете в виду скорость транспортного средства относительно поверхности земли. Поскольку вы не можете определить скорость Земли, у вас нет доступа к абсолютной системе отсчета. У вас есть доступ к относительной скорости автомобиля, но, конечно, это можно сделать и в качестве спидометра.

Если вместо этого вы имеете в виду, что можете определить скорость автомобиля относительно земли, то это правда. Поскольку автомобиль ускоряется, толкая землю, относительная скорость земли имеет значение. Если бы у вас была машина, которая работала бы как чистая ракета и не взаимодействовала бы с поверхностью, это было бы невозможно.

Как вы можете по-настоящему рассчитать это, не думая о Земле?

Потому что Земля настолько массивна, что при любом человеческом взаимодействии мы не можем измерить ускорение или результирующую скорость. Да, Земля будет ускоряться назад, когда вы будете вести машину, но потребляемая энергия на много порядков меньше энергии, отдаваемой вашей машине в этом кадре. Игнорировать это нормально.

Нас беспокоят только те кадры, где земля уже движется. Работа, совершенная на земле (или землей), равна$F \times d$или$Fvt$. В центре масс покоящейся рамы,$v$настолько близко к нулю, что этот член исчезает.

Работа, выполняемая аккумулятором, зависит от кадра. Чтобы доказать свою точку зрения и упростить математику, я предполагаю, что батарея работает, прикладывая силу к одной точке, а не прилагая силы к нескольким зарядам для перемещения тока. Я также буду делать вещи в 1d. Вы можете думать в этом конкретном случае о батарее как о чем-то вроде сжатой пружины, если это поможет. Предположим, что изначально потенциальная энергия батареи была$V$и, наконец, это было$0$, а то что машина изначально была в покое можно сказать

$$V = \frac{1}{2}mv_f^2$$ где$v_f$это конечная скорость автомобиля после того, как вся энергия батареи была израсходована. Теперь для системы отсчета, движущейся относительно земли со скоростью$v_{rel}$, у вас может возникнуть соблазн сказать, что уравнение энергии в этой системе отсчета будет $$\frac{1}{2}mv_{rel}^2 + V = \frac{1}{2}mv_f'^2$$ где $$v_f' = v_f - v_{rel}$$ Но это неправильно. Чтобы увидеть это, подставьте в него уравнение преобразования Галилея. $$\frac{1}{2}mv_{rel}^2 + V = \frac{1}{2}m(v_f - v_{rel})^2$$ $$V = \frac{1}{2}mv_f^2 - mv_{rel}v_f$$ что явно противоречит первому уравнению. Ответ кроется в принципе работы энергии. Прежде чем применять это в движущейся системе координат, помните, что$x$и$x'$связаны правилом преобразования Галилея $$x' = x - v_{rel}t$$ и так $$dx' = dx - v_{rel}dt$$ Таким образом, при интеграции для вычисления работы есть два вклада. Точка приложения силы перемещается из-за приложенной силы ($dx$), а также потому, что сама точка движется относительно движущейся системы отсчета ($v_{rel}dt$). Применяя теперь энергию работы, получаем $$\frac{1}{2}mv_f'^2 - \frac{1}{2}mv_{rel}^2 = \int F dx'$$ $$= \int F dx - v_{rel} \int F dt$$ $$= V - mv_{rel}(v_f' + v_{rel})$$ Первый член — это просто работа, совершаемая батареей в неподвижной системе отсчета, т. е. V. Второй член имеет импульс силы, так что это просто разница в конечном и начальном импульсах. Знак «плюс» здесь потому, что начальный импульс в движущейся системе отсчета равен$-mv_{rel}$. Это фактическое уравнение энергии, которое вы должны иметь в движущейся системе отсчета. Чтобы проверить его целостность, замените все$v_f'$с$v_f - v_{rel}$получить $$\frac{1}{2}m(v_f - v_{rel})^2 - \frac{1}{2}mv_{rel}^2 = V - mv_{rel}v_f$$ $$\implies \frac{1}{2}mv_f^2 = V$$ что согласуется с первым уравнением.

По сути, то же самое происходит в 3-х измерениях со всеми сложными силами в вашей батарее. На экране отображается только работа, которую он может выполнять в кадре земли. Работа, которую он может выполнять в любой другой движущейся системе отсчета, отличается. Правильный способ думать об этих видах энергетических проблем – это всегда использовать принцип работы энергии.

Вы правы в том, что это тонкий трюк, потому что величина, на которую разряжается батарея — по сути, то, сколько молекул химических веществ батареи вступает в реакцию — не является чем-то настолько тривиальным, чтобы его можно было просто преобразовать изменением системы отсчета, и вы можете действительно используйте это, чтобы выделить «предпочтительную» систему отсчета для проблемы.

В частности, эта особая система отсчета будет системой отсчета Земли — и это должно быть подсказкой. В первую очередь подумайте о том, как автомобиль на самом деле разгоняется до скорости. Сможет ли он сделать это, просто паря в пустом пространстве? Нет! Он должен физически соприкасаться с чем-то, чтобы двигаться по нему, а когда вы находитесь на Земле, эта вещь — поверхность Земли (в общем смысле). И это то, что выбирает систему отсчета, которую вы получаете. Если вы запустите его на пустом месте, батарея все равно будет разряжаться, но колеса будут просто бесполезно вращаться, и никаких проблемных изменений кинетической энергии не произойдет. Если вы поместите транспортное средство на другую планету, например, на Луну или Марс, то его батарея также «выберет» эту планету в качестве «предпочтительного» кадра.

Конечно, это только одна составляющая проблемы. Другой компонент заключается в том, как согласовать 4 джоуля, скажем, сжигаемых батареей в каждой системе отсчета, с получением большего или меньшего количества джоулей в другой системе отсчета? То есть, если мы перейдем к системе отсчета, где прирост кинетической энергии составляет всего 2 джоуля, куда делись остальные 2 джоуля? И получается, что если разобраться, ответ таков: они вошли в Землю. Они увеличили его кинетическую энергию на 2 Дж. Точно так же, если мы находимся в кадре, где прирост кинетической энергии составляет, скажем, 6 джоулей, лишние 2 джоуля сверх того, что вставила батарея, исходят изЗемля: в таком кадре Земля выглядит так, как будто она немного замедлилась — обратите внимание, что с соответствующим образом движущейся системой отсчета любой «ускоряющийся» объект может выглядеть так, как будто он «замедляется», по крайней мере, на некоторое время. время, и наоборот.

(Наконец, обратите внимание, что вы не увидите ни одного из этих изменений в движении Земли в каком-либо разумном смысле. При массе$6 \times 10^{21}$тонн, изменение кинетической энергии в два джоуля может изменить орбиту Земли не более чем примерно на$10^{-29}\ \mathrm{m/s}$, что примерно эквивалентно движению размером с протон за весь истекший период существования человеческого рода!)