Динамика переменной массы: частица и твердое тело

Второй закон Ньютона первоначально предполагал, что масса является постоянной природы, по крайней мере, если вы запишете ее как F = dp/dt. Он будет работать только с изменяющейся массой, если эта масса покидает тело с той же скоростью, что и исходный объект. Чтобы понять почему, просто представьте, что у вас есть составной объект, движущийся с постоянной скоростью. Если теперь вы посмотрите только на одну половину объекта, масса уменьшится вдвое, но скорость останется постоянной (мы предполагаем отсутствие внутренних сил, поэтому обе половины продолжают двигаться с одинаковой скоростью. Теперь, если обе половины взаимодействуют так что та, что впереди, оттолкнула ту, что сзади («цифровая одношаговая жидкость»), у вас будет взаимодействие между двумя половинами, и правильный способ описать это — использовать начальные скорости и взаимодействия или, используя тот факт, что полный момент является константой, но всегда считая массу каждой части постоянной. Если вы просто используете второй закон с производной от массы, вы получите другой (и неверный) результат. Ваше последнее уравнение для твердых тел неверно (в смысле нефизического). Правильный:

$\frac{\text{d}\mathbf{Q}}{\text{d}t} = m\mathbf{\dot{v}} =\sum_i \mathbf{F_i^\text{ext}}$

Потому что в ньютоновской механике масса является константой для твердого тела. У меня нет никаких рекомендаций, кроме моего профессора, который сказал мне это и решал проблемы (например, ракету) обоими способами и получал разные результаты, причем результат с использованием непеременной массы был правильным. Только подумайте, что в природе нет классического механизма, позволяющего твердому телу терять или изменять массу (если только оно не составное и не теряет каких-то частей). Итак, изменение массы из-за теории относительности верно, но законы Ньютона в этом случае больше не применяются. Забавное замечание: и отец Пластино, и Муццио были моими профессорами!

Сначала обратимся к линейной задаче.

Оба подхода, которые вы написали здесь, верны: по сути, это один и тот же подход к немного разным ситуациям. Первый более ясный, потому что он мыслит в терминах сохранения импульса всей системы, что, несомненно, является самым ясным способом думать о такого рода проблемах.

В первом случае вы просто выбрасываете поток массы из задней части ракеты и получаете уравнение Циолковского, думая о ракете во времени.$t$, сравнивая его с тем, что он стал в то время$t+\mathrm{d}t$а именно, уменьшенная ракета плюс отдельно выброшенная масса и уравнивание импульса двух. В частности, в первом подходе предполагается, что выброшенная масса не взаимодействует ни с какими массами, которые были выброшены в момент времени до времени.$t$.

Второй случай немного отличается. Здесь ракетная система (ракета и масса, которую она выбрасывает вовремя$\mathrm{d}t$) рассматривается вместе с жидкостью, в которую погружена ракета: хотя бы частично (в дальнем космосе за ракетой находится только жидкость, а именно ранее выброшенные выхлопные газы). См. ниже:

Выхлопные газы выбрасываются раньше времени$t$все еще взаимодействуют с ракетой + системой готовящейся к выбросу массы : последние оказывают давление$p_e$в системе. Таким образом, мы получаем показанную диаграмму свободного тела. Есть чистая сила$(p_e-p_0)\,A$по системе, действующей справа от моего рисунка . Итак, теперь мы используем точно такой же подход, как и в первой задаче, но заметим, что теперь импульс ракеты$m$+ вот-вот будет выброшен$\mathrm{d}m$не сохраняется: он должен измениться на$(p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t$. Поэтому, как и прежде, но теперь при действии сетевого импульса:

что дает ваше второе уравнение$m\,\dot{v} = \dot{m}\,v + (p_e-p_0)\,A$.

Если вы привнесете в картину сопротивление и гравитацию, вы также добавите их импульс. Таким образом, вы закончите с$m\,\dot{v} = \dot{m}\,v + (p_e-p_0)\,A - \frac{1}{2}\,\rho_a\,C_D\,v^2 - m\,g$в этом случае для ракеты, летящей прямо вверх.

Надеюсь, вы видите, что ваш первый подход применим к чему-то вроде потока песка, выброшенного из-за чего-то сзади; второе относится к проколотой банке, летящей по воздуху.

Я думаю, по памяти,$(p_e-p_0)\,A$срок, как правило, довольно мал по сравнению с$\dot{m}\,v$срок, но, надеюсь, эксперт по ракетам может прояснить этот момент (и один из вас пишет один из ваших ответов).

Так что теперь у вас должна быть уверенность в себе, чтобы изучать задачи твердого тела. Если, например, у вас есть один из тех маленьких подруливающих устройств, которые выглядят как мальтийские кресты на носу вашего космического корабля, вы нарисуете свободную диаграмму тела, как показано ниже.

и запишите два уравнения, аналогичные приведенным выше, для выражения изменения линейного и углового количества движения во времени.$\mathrm{d}t$системы, состоящей из:

1. Ракета с массой$m-\mathrm{d}m$и момент инерции$I-L^2\,\mathrm{d}m$относительно центра масс и
2. Выброшенная масса$\mathrm{d}m$с импульсом$\mathrm{d}m\,u_e$вверх и угловой момент$L\,\mathrm{d}m\,u_e$против часовой стрелки вокруг центра масс.

отмечая, что теперь есть чистое изменение импульса$(p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t$вниз и чистое изменение углового момента$L\,(p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t$по часовой стрелке вокруг центра масс ракеты.

Отказ от ответственности: следующее относится к вашему покорному слуге, автору этого ответа. Принимая во внимание, что один из ваших других ответов на этот вопрос написан настоящим ученым-ракетчиком.