Есть ли измеримые эффекты масштабирования действия константой?

Ну, в принципе, вы сами ответили на свой вопрос. Масштабирование действия — это то же самое, что масштабирование постоянной Планка. Очевидно, что это не может иметь никакого эффекта классически. Но на квантовом уровне$\hbar$измеряет некоммутативность наблюдаемых и в крайнем пределе$\hbar \to 0$вы восстанавливаете классическую механику.

Что касается знака, то это не имеет значения ни с классической, ни с квантовой механики. Нас интересует не только минимизация действия, но и все экстремумы. Изменение знака означает только то, что мы поменяем значения максимума и минимума, но решения совсем не изменятся.

Для классической механики величина коэффициента масштабирования не имеет значения, но знак может зависеть от того, как вы сформулируете свой принцип действия. Принцип наименьшего действия может быть воспринят некоторыми слишком буквально, но, как вы заметили, более строгое определение заключается в том, является ли путь стационарным. При достаточно малых разностях времени в классической механике частиц действие всегда минимально (ну или максимально, в зависимости от выбора знака). См. «Когда действие важнее всего» Тейлора и Грея. Однако даже на коротких временах «пути» полей в классической механике представляют собой седловые точки действия. Так что в какой-то момент нужно перестать воспринимать «наименьшее» в наименьшем действии буквально.

Для квантовой механики масштабирование вызовет эффект. Это одна из основных причин того, почему классические действия, приводящие к одним и тем же уравнениям движения, на самом деле могут привести к разным квантовым теориям. Так что этот эффект действительно измерим в принципе. Однако знак по-прежнему не поддается измерению, поскольку выбор знака является всего лишь соглашением.

Ваш аргумент абсолютно правильный; изменение знака/масштабного коэффициента не изменит решения «классического» уравнения$\delta S = 0.$Однако наблюдаемые меняются. Если вы знакомы с теорией поля, то знаете, что наблюдаемая F рассчитывается как

$$\langle F \rangle = \frac{\int\mathrm{d}\phi F[\phi] e^{iS[\phi]/\hbar}}{\int\mathrm{d}\phi e^{iS[\phi]/\hbar}};$$ изменение масштаба S меняет то, что вы измеряете. Это действительно эквивалентно изменению масштаба в $\hbar,$так что практически любая наблюдаемая так или иначе изменит свое значение!

Кроме того, когда авторы говорят, что знак имеет значение, это помогает задуматься о связи между квантовой и классической теориями поля. Например, если вы «вращаете» свободный QFT, вы получаете

$$S[\phi] = \int\mathrm{d}^Dx \frac{1}{2}(\nabla\phi(x))^2 + \frac{1}{2}m^2\phi(x)^2,$$ который по построению положителен везде: $S[\phi] \geq 0.$В этом случае выражения типа $$\langle F \rangle = \frac{\int\mathrm{d}\phi F[\phi] e^{-\beta S[\phi]}}{\int\mathrm{d}\phi e^{-\beta S[\phi]}}$$ имеет смысл, так как интегралы сходятся. Если изменить знак $S$, интегралы внезапно ужасно расходятся — у вас внезапно больше нет хорошей теории поля. Это очень общее свойство: большие значения поля и большие отклонения должны быть «наказаны» экспоненциальным подавлением; если вы измените знак, большие значения и отклонения будут экспоненциально предпочтительными.