Принцип причины неопределенности

Принцип неопределенности является простым следствием идеи о том, что квантово-механические операторы не обязательно коммутируют .

В квантовой механике вы обнаружите, что состояние, описывающее состояние определенного значения наблюдаемой$A$не является состоянием, которое описывает состояние определенного значения для наблюдаемой$B$если коммутатор обеих наблюдаемых$[A,B]$не равен нулю. (Формально оба оператора не являются одновременно диагонализируемыми.)

Вы просто записываете определение стандартного отклонения оператора$A$в штате$\psi$,

$$\sigma_A(\psi) = \sqrt{\langle A^2\rangle_\psi - \langle A\rangle^2_\psi}$$ где $\langle\dot{}\rangle_\psi$это ожидаемое значение в состоянии $\psi$и с небольшими алгебраическими манипуляциями (сделанными, например , в Википедии ) мы обнаруживаем, что $$\sigma_A(\psi)\sigma_B(\psi)\ge \frac{1}{2}\lvert \langle[A,B]\rangle_\psi\lvert$$

Теперь стандартное отклонение (или «неопределенность») наблюдаемого состояния говорит вам, насколько состояние «колеблется» между различными значениями наблюдаемого. Стандартное отклонение, например, равно нулю для собственных состояний наблюдаемой, поскольку вы всегда просто измеряете одно собственное значение, которое имеет это состояние.

Подстановка канонического коммутационного соотношения

$$[x,p] = \mathrm{i}\hbar$$ дает «известную» версию соотношения неопределенностей, а именно $$\sigma_x\sigma_p\ge \frac{\hbar}{2}$$ но в этом отношении нет ничего особенного в положении и импульсе — любая другая пара операторов также выполняет такое соотношение неопределенностей.

На мой взгляд, важно отметить, что принцип неопределенности не опирается ни на какое понятие «частиц» или «волн». В частности, это справедливо и для конечномерных квантовых систем (таких как частица со спином, которая каким-то образом ограничена точкой) для таких наблюдаемых величин, как спин или угловой момент, которые не имеют ничего общего с тем, что можно было бы назвать «природой волны». Этот принцип является просто следствием основного предположения квантовой механики о том, что наблюдаемые хорошо моделируются операторами в гильбертовом пространстве.

Причина появления «волн» заключается в том, что соотношение неопределенностей для$x$и$p$в точности соответствует «ширине» функций в переменных, сопряженных с Фурье, а соотношение Фурье, с которым мы наиболее знакомы, — это отношение между положением и импульсным пространством. То, что канонические коммутационные отношения эквивалентны такому описанию сопряженными переменными Фурье, является содержанием теоремы Стоуна-фон Неймана .

Однако именно описание коммутационными соотношениями, а не сопряженностью Фурье, обобщается на все квантовые состояния и все операторы. Следовательно, именно коммутационное соотношение между операторами следует рассматривать как источник их квантово-механических соотношений неопределенностей.

Это должен был быть комментарий, а потом я решил дать ответ экспериментатора. Слишком много физиков-теоретиков отвечают здесь и, на мой взгляд, неправильно понимают, что такое физические теории.

Физические теории — это не математика. Для математики аксиомы фундаментальны, потому что, исходя из аксиом, можно последовательно построить теорию (основным и древним примером является плоскостная геометрия), используя логические и математические средства. Физические теории разрабатываются для описания наблюдений и предсказания новых. Красота и последовательность математики не должны вводить нас в заблуждение, заставляя думать, что математика с ее аксиомами и доказательствами является фундаментальной. Математика необходима, но не имеет отношения к физике, если нет постулатов, связывающих физические наблюдения с математическими решениями. Постулаты квантовой механики лежат в основе теории квантовой механики.

Постулаты 1,2 в приведенной выше ссылке относятся к принципу неопределенности Гейзенберга.

1) С любой частицей, движущейся в консервативном силовом поле, связана волновая функция, которая определяет все, что можно знать о системе.

2) С каждой физической наблюдаемой q связан оператор Q, который при работе с волновой функцией, связанной с определенным значением этой наблюдаемой, даст это значение, умноженное на волновую функцию.

Именно это делает соответствие между математическим аппаратом дифференциальных волновых уравнений и их свойствами актуальными для физики. Таким образом, ответ с объяснением волн актуален, потому что математика волн одинакова, независимо от того, используется ли она для распределения вероятностей или для волн на воде.

Соответствие наблюдаемых операторам, также налагаемым вне математических аксиом, приводит к коммутационным соотношениям , которые отвечают за принцип неопределенности Гейзенберга .

Изучая работы Дирака и Джордана, а также часто переписываясь с Вольфгангом Паули, Гейзенберг обнаружил проблему , связанную с измерением основных физических переменных, входящих в уравнения. Его анализ показал, что неопределенности или неточности всегда возникают, если кто-то пытается одновременно измерить положение и импульс частицы. (Аналогичные погрешности возникают при одновременном измерении переменных энергии и времени частицы.) Эти погрешности или неточности в измерениях не были виной экспериментатора, сказал Гейзенберг, они присущи квантовой механике.

Читая историю, можно увидеть, что неопределенности в экспериментах в конце концов привели к принципу, принятие которого в физике согласуется с математической структурой, выбранной для моделирования квантово-механической природы наблюдений.

Так что, на мой взгляд, то, почему это происходит, напрямую связано с волновой природой квантово-механической структуры, волной вероятности, конечно. А выбор волновых уравнений был продиктован наблюдениями.

ACuriousMind дает стандартный ответ, а именно, что это следствие математической структуры QM. Альтернативный ответ (подход к КМ) начинается с коммутационных соотношений и выводит математическую структуру КМ. Таким образом, принцип неопределенности (HUP) является версией неравенства Робертсона.

Зачем начинать с коммутационных соотношений? Принцип Маха: Все измерения относительны. Предположим, что измерительное устройство для величины Q производит поток измерений$X=x_1,X= x_2$... Второй измерительный прибор$Y = f(X)$создаст второй поток измерений$Y=y_1,Y= y_2$..., скажем$f(x) = x + \epsilon.sin(t)$. Глядя только на потоки измерений, которые «правильно» измеряют Q?

Попросту сказать нельзя. Нужно было бы смотреть на «конструкцию» измерительного прибора и т. д., которая не совсем удовлетворительна по разным причинам. Квантовым эквивалентом утверждения Маха «Если во Вселенной есть только одна частица, бессмысленно говорить о ее физических свойствах» было бы: «Если во Вселенной есть только один измерительный измерительный прибор, бессмысленно говорить о произведено измерение".

Требование повторяемости означает, что единственная возможность охарактеризовать потоки измерений — это когда за измерением с помощью одного устройства следует измерение с использованием другого измерительного устройства. Это приводит к коммутационным соотношениям и, в конечном счете, к стандартной математической структуре КМ.

Так как же правильно говорить о HUP? Вы не ошибетесь с объяснением, данным ACuriousMind, но оно зависит от определенного набора постулатов и других возможных причин «почему».