Связь между сохраняющимся зарядом и генератором симметрии

Я пытаюсь немного лучше понять связь между зарядами Нётер и генераторами симметрии. В книге Schwartz QFT , глава 28.2, он утверждает, что заряд Нётера Вопрос порождает симметрию, т.е. совпадает с генератором соответствующей группы симметрии. Его вывод выглядит следующим образом: рассмотрим заряд Нётер

Вопрос знак равно ∫ г 3 Икс Дж 0 ( Икс ) знак равно ∫ г 3 Икс ∑ м дельта л дельта ф ˙ м дельта ф м дельта α

который в КТП является оператором и использует каноническое коммутационное соотношение

[ ф м ( Икс ) , π н ( у ) ] знак равно я дельта ( Икс − у ) дельта м н ,
с π м знак равно дельта л дельта ф ˙ м мы можем вывести

[ Вопрос , ф н ( у ) ] знак равно − я дельта ф н ( у ) дельта α .

Из этого он заключает, что теперь мы можем видеть, что « Вопрос генерирует преобразование симметрии».

Может ли кто-нибудь помочь мне понять этот момент или знает какое-либо другое объяснение того, почему мы можем писать для преобразования симметрии е я Вопрос , с Вопрос заряд Нётер (что, конечно, эквивалентно утверждению, что Q является генератором группы симметрии)?

Чтобы немного рассказать о том, что я пытаюсь понять: учитывая симметрию лагранжиана, скажем, трансляционную инвариантность, которая генерируется в бесконечномерном представлении (полевом представлении) дифференциальными операторами. ∂ мю . Используя теорему Нётер, мы можем вывести сохраняющийся ток и величину, сохраняющуюся во времени, заряд Нётер. Это количество дано в терминах полей/поля. Почему нам позволено отождествлять генератор симметрии с этим нётеровским зарядом?

Любые идеи будут высоко оценены

Привет Якоб, я нашел дополнительный термин ∫ г 3 Икс ∑ м π м ( Икс ) [ дельта ф м ( Икс ) дельта α , ф н ( у ) ] при оценке [ Вопрос , ф н ( у ) ] . Как вы будете утверждать, что это ноль? Большое спасибо за Вашу помощь.

Ответы (2)

Рассмотрим элемент грамм группы симметрии. Сказать грамм представляется унитарным оператором в гильбертовом пространстве

Т грамм знак равно опыт ⁡ ( т Икс )
с генератором Икс и некоторый параметр т . Он действует на оператора ф ( у ) по спряжению
( грамм ⋅ ф ) ( у ) знак равно Т грамм − 1 ф ( у ) Т грамм знак равно е − т Икс ф ( у ) е т Икс знак равно [ 1 + т [ Икс , ⋅ ] + О ( т 2 ) ] ф ( у )
С другой стороны, вариация ф определяется как вклад первого порядка при групповом действии, например
грамм ⋅ ф знак равно ф + дельта ф дельта т т + О ( т 2 )
Поскольку в физике мы предпочитаем, чтобы генераторы были эрмитовыми, а не антиэрмитовыми, Икс ↦ я Икс и устанавливает
[ Икс , ф ] знак равно − я дельта ф дельта т

Кроме того, этот ответ и ссылки в нем должны помочь вам в дальнейшем.

Благодарю вас! О малом/большом я не понимаю: почему элемент группы действует на оператор ф ( у ) , по сопряжению?
Мое первое предположение было бы в том, что это потому, что мы смотрим на ф в присоединенном представлении. Это будет означать, что ф живет в касательном пространстве над единицей, т.е. Т е , то есть пространство, в котором живут генераторы (= алгебра Ли). Естественным произведением этого пространства является коммутатор. Если мы рассматриваем присоединенное представление группы, мы отображаем каждый элемент в линейный оператор на Т е . Затем действие каждого элемента группы задается коммутатором. грамм ∘ ф знак равно [ грамм , ф ] ≈ я [ Икс , ф ] , что близко, но, к сожалению, не совсем то, что вы написали
Я перепутал несколько моментов... Есть, конечно, два отображения, одно для группы и одно для алгебры Ли, оба на пространство линейных операторов на Т е : А г грамм ( Икс ) знак равно грамм Икс грамм − 1 , а г Икс ( Д ) знак равно [ Икс , Д ] . Поэтому мой вопрос исключительно в том, почему поле ф живет в алгебре Ли, т.е. ф е Т е . Тогда все ясно, потому что единственный возможный гомоморфизм группы на ее собственную алгебру Ли задается равенством А г грамм как определено выше, и действие грамм на ф дается сопряжением.
@JakobH Извините, что только что вернулся к вам. Поле ф является линейным оператором в пространстве Фока. Как всегда представители группы. действовать на государства как Т грамм | ф ⟩ а на операторах как преобразование подобия сопряжением Т грамм − 1 ф Т грамм . Я не думаю, что есть что-то большее. Хотя калибровочные поля преобразуются при присоединенном представлении. Мои познания в этом вопросе, к сожалению, отрывочны, но я планирую наверстать упущенное :)
@JakobH Вам нужны дополнительные разъяснения?
Большое спасибо за твою помощь! Мне было интересно, можно ли вывести из
Вопрос знак равно ∫ г 3 Икс Дж 0 ( Икс ) знак равно ∫ г 3 Икс ∑ м дельта л дельта ф ˙ м дельта ф м дельта α
с использованием [ Икс , ф ] знак равно − я дельта ф дельта т
→ Вопрос знак равно я ∫ г 3 Икс ∑ м дельта л дельта ф ˙ м [ Икс , ф м ]
что Вопрос знак равно Икс без использования канонического коммутатора. В любом случае, ваш ответ и комментарий отлично отвечают на мой первоначальный вопрос.

Я хотел бы сделать дополнение к ответу Нефенте, потому что вы спросили об этом в своем комментарии, и я также думаю, что это тоже часть полной картины здесь.

Почему элемент группы действует на оператор ф , по сопряжению?

Это ни в коем случае не математически строгий ответ, но все же его можно сделать.
Рассмотрим наш ф действует на государство | ф ⟩ .

| ψ ⟩ знак равно ф | ф ⟩ .
Скажем, что наш оператор симметрии представлен следующим образом, который является одной и той же операцией для каждого состояния.
| ф ′ ⟩ знак равно Т грамм − 1 | ф ⟩ , | ψ ′ ⟩ знак равно Т грамм − 1 | ψ ⟩ .
Отсюда можно вывести (подставив 1 знак равно Т грамм   Т грамм − 1 ), что
| ψ ′ ⟩ знак равно Т грамм − 1 ф   Т грамм   ⏟ А Т грамм − 1 | ф ⟩ ⏟ | ф ′ ⟩ .
Мы можем видеть из этого, что А как мы ожидаем преобразованный ф вести себя для | ф ′ ⟩ , | ψ ′ ⟩ . Потому что это верно для ∀ | ф ⟩ , ∀ грамм для данного ф , мы можем сделать вывод, что
ф ′ знак равно Т грамм − 1 ф   Т грамм .

(Обратите внимание, что я думаю, когда Нефанте писал, что Т грамм как оператор симметрии представлен в гильбертовом пространстве, он действительно имел в виду, что это Т грамм − 1 , потому что позже он заявляет, что операторы преобразуются Т грамм − 1 ф   Т грамм .)

Связь между сохраняющимся зарядом и генератором симметрии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v