Можем ли мы иметь прерывистые волновые функции в яме Бесконечного Квадрата?

в$L^2$исчисления, которое имеет отношение к волновым функциям из гильбертова пространства, на самом деле неверно, что «производная разрывной функции не существует».

Например, если волновая функция$\psi(x)$подчиняется

Причина, по которой разрывные функции со ступеньками не появляются в реальных физических задачах, заключается в том, что математическое ожидание кинетической энергии бесконечно. Это действительно потому, что математическое ожидание кинетической энергии пропорционально интегралу от$\psi'(x)$и интеграл от$\delta(x)^2$расходится, потому что$\delta(x)^2$является «гораздо более бесконечным» в нуле, чем$\delta(x)$сам.

Пока мы знаем, что кинетическая энергия меньше определенной конечной границы, мы также знаем, что волновая функция не будет иметь такого рода разрыва. Но это не означает, что мы никогда не должны проводить расчеты с такими прерывистыми волновыми функциями – и даже волновыми функциями, равными распределениям, таким как дельта-функции и их производные. На самом деле физики работают с ними все время, потому что такие волновые функции очень естественны с математической точки зрения, хотя ни одна из них на самом деле не может показаться «строго реалистичным» вектором состояния, удовлетворяющим всем критериям нормируемости и конечной энергии. Реалистичные волновые функции, такие как волновые пакеты, часто могут быть выражены как интеграл таких негладких волновых функций. Интеграция «размывает» их и устраняет единичные черты.

I) Ну, в общем случае существует понятие слабых решений , т.е. можно, например, переписать независимое от времени уравнение Шредингера из дифференциальной формы

в интегральное уравнение

где волновая функция$\psi(x)$больше не должны быть дважды дифференцируемыми, чтобы уравнение (2) имело смысл (в отличие от уравнения (1)).

(ОП задает более общий вопрос, связанный с уравнением Шредингера, зависящим от времени, см. раздел V, но давайте для простоты сначала рассмотрим уравнение Шредингера, не зависящее от времени.)

В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что волновая функция$\psi\in{\cal L}^2(\mathbb{R})$интегрируема с квадратом (= нормализуемая).

Заметим, однако, что если предположить, что$V,\psi\in{\cal L}^2_{\rm loc}(\mathbb{R})$оба локально интегрируемы с квадратом, то можно сделать вывод (с помощью своего рода аргумента начальной загрузки, см. этот ответ Phys.SE), что решение$\psi$на самом деле дифференцируема с непрерывной производной,$\psi\in C^1(\mathbb{R})$.

II) Далее обратите внимание, что потенциал бесконечной квадратной ямы

представляет собой идеализацию потенциала с конечной квадратной ямой$^1$

где$V_0$— очень большая положительная константа, намного больше, чем энергия частицы, которую мы хотели бы изучить.

III) С одной стороны, конечный потенциал прямоугольной ямы (4) действительно локально интегрируем с квадратом, поэтому решения$\psi$являются$C^1(\mathbb{R})$. Можно показать, что нормализуемое решение$\psi$существует только для определенных дискретных уровней энергии$E_n$(которые зависят от параметра$V_0$). Кроме того, можно показать в пределе$V_0\to \infty$, что эти собственные функции энергии$\psi_n$i) остаются непрерывными функциями и ii) обращаются в нуль вне ямы$|x|\geq a$.

IV) С другой стороны, бесконечный потенциал прямоугольной ямы (3) не является локально интегрируемым с квадратом, но можно показать, что ограничение решений$\psi$к колодцу$|x|< a$должно быть$C^1(]-a,a[)$, т.е. что$\psi$в лучшем случае может иметь разрыв на потенциальных стенках$x=\pm a$. Вне колодца$|x|>a$, интегральное уравнение (2) не определено четко из-за бесконечного потенциала. На физических основаниях, основанных на опыте конечного случая (4), теперь мы заявляем, что собственные функции энергии$\psi_n$должны быть i) непрерывными и ii) они должны исчезать вне ямы$|x|\geq a$. В частности, физически целесообразно наложить краевое условие Дирихле$\psi_n(x\!=\!\pm a)=0$у потенциальных стен.

V) Теперь вернемся к вопросу ОП. Да, гильбертово пространство$H=L^2([-a,a])$с основой$\psi_n$задается собственными функциями энергии$\psi_n$из раздела IV. Интегрируемые в квадрат бесконечные линейные комбинации

не обязательно быть непрерывным.

Пример: нечетная и прерывистая волновая функция

нормализуется$\psi\in H=L^2([-a,a])$. Его можно записать в виде бесконечного ряда

собственных функций энергии, и ряд сходится как$x$-поточечно и в$L^2$-норма. Так что чисто с точки зрения гильбертова пространства$H=L^2([-a,a])$, разрывная волновая функция (6) совершенно прекрасна.

Однако можно показать, что кинетическая энергия волновой функции (6) бесконечна и, следовательно, физически неприемлема. Рассуждения в этом направлении, естественно, приводят к более внимательному рассмотрению оператора Гамильтона, который является неограниченным оператором , определенным в соответствующей области, и изучению его самосопряженного расширения. Оставляем это заинтересованному читателю.

$^1$Конечный потенциал (4) сам по себе также является идеализацией, но мы не будем ее здесь рассматривать.

В бесконечной одномерной яме энергия$n$мода пропорциональна$n^2$. Однако, если вы суммируете моды, чтобы сделать квадратную яму фактором для$n$й режим 1/$n$. Это означает, что для создания прямоугольной волны потребуется бесконечное количество энергии, что неудивительно, поскольку у нее будет бесконечная первая производная.