Что означает монопольный/квадрупольный момент Земли?

Монополь (гравитационный) системы - это, по сути, количество массы-энергии, которой обладает система.

Диполь — это мера того, как масса распределяется вдали от некоторого центра.

Квадрупольный момент описывает, насколько растянуто распределение массы вдоль оси. Квадруполь будет равен нулю для сферы, но не равен нулю, например, для стержня. Он также отличен от нуля для Земли, потому что Земля представляет собой сплюснутый сфероид.

Гравитационный вклад от квадруполя падает быстрее, чем от монополя. (именно поэтому квадрупольный момент Земли важен для изучения спутников, а не для изучения Луны, в силу$r^{-3}$зависимость вклада в потенциал)

Квадруполи и другие моменты более высокого порядка важны в ОТО, потому что изменение их распределения может вызвать гравитационные волны.

---

Пример:

Рассмотрим два случая, в обоих случаях большие тела имеют массу$M$и малый по массе$m$, а малая находится на линии симметрии на расстоянии$r$.

Случай 1: квадрупольный момент отсутствует.

Сила здесь проста:

$$\frac{GMm}{r^2}$$ .

Случай 2: ненулевой квадрупольный момент. (большие сферы разделены некоторым расстоянием$2R$.)

Сила в этом случае равна:

$$\frac{2GMmr}{(r^2+R^2)^{3/2}}$$

Это, для больших$r$, можно аппроксимировать (расширение двухчленного ряда):

$$F \sim \frac{2GMm}{r^2}-\frac{3GMmR^2}{r^4}$$

Странный термин здесь из-за квадрупольного момента системы. По мере того как вы идете дальше ($r>>R$), сила,$F$более-менее:

$$F \sim \frac{2GMm}{r^2}$$

Вот почему «эффект квадрупольного момента» ослабевает с расстоянием.

Извиняюсь за неприятные диаграммы MS Paint.

Представьте, что у вас есть массовое распространение$\rho(x,y,z)$вокруг начала координат O, и мы хотим рассчитать потенциальную энергию и силу в определенной точке P на оси z. Потенциальная энергия легко выражается интегралом:

$$U=-GM\int_{V}\frac{\rho(x,y,z)}{R}dv$$ Однако этот интеграл может быть трудно вычислить, и часто проще выразить подынтегральную функцию рядом, это называется мультипольным расширением и может быть сделано как для гравитационной силы, так и для электростатической силы.

По закону косинусов мы выражаем R через функцию$\theta$,$r'$и р:$R^2 = r^2 +r'^2 - 2rr'\cos(\theta)$, теперь мы можем упростить этот интеграл, используя это тождество и ряд Тейлора:

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+\alpha}} = \frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2}\alpha+\frac{3}{8}\alpha^2-...\right)$$ куда$\alpha=\left(\frac{r'}{r}\right)^2-\frac{2r'}{r}\cos(\theta)$

Теперь потенциальная энергия становится:

$$U=\frac{-GM}{r}\int_{V}\rho dv+\frac{-GM}{r^2}\int_{V}r'\cos(\theta)\rho dv+\frac{-GM}{r^3}\int_{V}r'^2\frac{3\cos^2(\theta)-1}{2}\rho dv +...$$ Как видите, с каждым членом степень r становится все меньше и меньше. Часто мы переписываем это выражение как: $$U=-GM\left(\frac{C_0}{r}+\frac{C_1}{r^2}+\frac{C^2}{r^3}...\right)$$ Где$C_0$монопольный момент,$C_1$дипольный момент,$C_2$квадрупольный момент и т.д. Их можно легко интерпретировать, и я имею в виду @Hritik Narayan.