Сколько существует действительно разных мультиполярных распределений заряда?

Question

Сколько существует действительно разных мультиполярных распределений заряда?

Эмилио Писанти

Распределения диполярного заряда по существу одинаковы: независимо от того, как сложить комбинацию вида

о (θ, ф) "=" Ре [\sum_{м "=" - 1}^{1} а_{м} Д_{1 м} (θ, ф)],

$\sigma(\theta,\varphi) = \operatorname{Re}\left[\sum_{m=-1}^1 a_m Y_{1m}(\theta,\varphi)\right],$ вы получаете только повернутую версию канонического

Y_{10} (θ, φ) \propto \cos (θ)

$Y_{10}(\theta,\varphi) \propto \cos(\theta)$ , умноженный на некоторую глобальную константу.

С другой стороны, квадруполярные распределения заряда более интересны, потому что вы можете иметь «двойное арахисовое» распределение вида

о (θ, ф) "=" грех (θ) потому что (ф) потому что (θ) "=" \frac{Икс г}{р^{2}},

$\sigma(\theta,\varphi) = \sin(\theta)\cos(\varphi)\cos(\theta) = \frac{xz}{r^2},$ но вы также можете иметь обычное распределение «два шара и кольцо» в виде

о (θ, ф) "=" 3 {потому что}^{2} (θ) - 1 "=" \frac{2 г^{2} - {Икс}^{2} - у^{2}}{р^{2}},

$\sigma(\theta,\varphi) = 3\cos^2(\theta)-1 = \frac{2z^2-x^2-y^2}{r^2},$ и эти два не являются вращениями друг друга. Имея это в виду, тогда:

Если вы считаете два распределения зарядов эквивалентными, если они отличаются только жестким вращением или глобальной константой, сколько реальных параметров вам потребуется, чтобы описать квадрупольные распределения зарядов на единичной сфере вида
$о (θ, ф) "=" Ре [\sum_{м "=" - 2}^{2} а_{м} Д_{2 м} (θ, ф)] ?$ $\sigma(\theta,\varphi) = \operatorname{Re}\left[\sum_{m=-2}^2 a_m Y_{2m}(\theta,\varphi)\right]?$ Какова размерность этого многообразия и какова его топология? Можно ли это сокращение сделать систематическим? И если да, то как? Каков физический смысл этих параметров, и есть ли у них устоявшиеся названия в литературе?
Точно так же, как эти вопросы выглядят для октуполей?
А как насчет общих мультиполей?

Редактировать: я думаю, после дальнейшего размышления, что я прошу, это основная топология орбитального пространства действия $\mathrm{SO}(3)$ о его неприводимых представлениях: является ли факторпространство многообразием? если да, то каковы его размеры и топология? если нет, то почему? Я хотел бы видеть это для произвольного $\ell$ но с особым акцентом на обоих $\ell=2$ и $\ell=3$ , которые кажутся мне первыми двумя нетривиальными примерами. (Я не предполагаю $\ell=4$ быть намного сложнее, чем октупольное представление, но я действительно думаю, что октуполь вносит нетривиальные морщины по сравнению с квадруполем.) Если люди могут прокомментировать, что происходит для полуцелого $j$ это тоже было бы здорово.

Я знаю, в частности, о редукции квадрупольного представления путем диагонализации его матрицы коэффициентов, но мне совершенно не ясно, как можно обобщить это на тензоры октупольного слоя ранга 3 и выше, и мне определенно хотелось бы ответы на это обобщение.

С другой стороны, я хочу, чтобы в ходе обсуждения также были рассмотрены особенности этих орбитальных пространств: что представляют различные точки и как на самом деле выглядят эти распределения зарядов, по крайней мере, в «экстремальных» точках (например, $Y_{20}$ и $\operatorname{Re}(Y_{22})$ ). Аргумент подсчета измерений в ответе Логана интересен, но он указывает на то, что есть $2\ell-2$ неэквивалентные распределения на $\ell\geq 2$ , а это означает, что некоторые из этих измерений не охватываются обычными сферическими гармониками: поскольку $\operatorname{Re}(Y_{\ell ,\pm m})$ и $\operatorname{Im}(Y_{\ell ,\pm m})$ эквивалентны вращению, если брать их без учета $Y_{\ell m}$ может производить только до $\ell+1$ различные дистрибутивы (с одним нокаутом в $\ell=2$ по вращательной эквивалентности), это означает, что из $\ell=4$ далее должно быть как минимум $\ell-3$ независимые линейные комбинации $Y_{\ell m}$ которые не эквивалентны по вращению ни одному из них. Как выглядят эти комбинации? Хотелось бы явных примеров для первых нетривиальных случаев, а так же систематических методов их получения для произвольных $\ell$ .

Теперь я понимаю, что весь этот пакет требует больших усилий, но я действительно думаю, что он интересен и заслуживает изучения. Я, вероятно, добавлю немного подсластителя поддельных интернет-точек через несколько дней, но мне нужны более подробные ответы, чем текущие.

Эмилио Писанти

Связанный: Какие инструменты, подобные собственным векторам, существуют для анализа тензоров третьего ранга и выше?

Ответы (2)

Сколько существует действительно разных мультиполярных распределений заряда?

Связанный: Какие инструменты, подобные собственным векторам, существуют для анализа тензоров третьего ранга и выше?

ZeroTheHero · Answer 1

Ответ для квадруполей $2$ . Лучший способ представить себе квадруполь — это рассмотреть элементы $Y_{2m}$ как линейные комбинации элементов в симметричной бесследовой матрице:

Вопрос "=" (\begin{array}{ccc} р^{2} - {Икс}^{2} & Икс у & Икс г \\ Икс у & р^{2} - у^{2} & у г \\ Икс г & у г & р^{2} - г^{2} \end{array})

${\cal Q}=\left(\begin{array}{ccc} r^2-x^2&xy&xz\\ xy&r^2-y^2&yz\\ xz&yz&r^2-z^2\end{array}\right)$ Поскольку эта матрица симметрична, ее можно привести к диагональному виду поворотом, так что до поворотов остается два собственных значения для параметризации вашего квадруполя. Они обычно связаны с

Y_{20} (θ, ϕ)

$Y_{20}(\theta,\phi)$ и некоторые линейные комбинации

Y_{2 \pm 2} (θ, ϕ)

$Y_{2\pm 2}(\theta,\phi)$ компоненты так, что в обычных обозначениях

{Вопрос}_{0} \sim 2 г^{2} - {Икс}^{2} - у^{2}, {Вопрос}_{2} \sim {Икс}^{2} - у^{2} .

${\cal Q}_0\sim 2z^2-x^2-y^2 \, ,\qquad {\cal Q}_2\sim x^2-y^2\, .$ Когда

Q_{2} = 0

${\cal Q}_2=0$ фигура осесимметричная, либо сплюснутая, либо вытянутая в зависимости от знака

Q_{0}

${\cal Q}_0$ . Когда

Q_{2} \neq 0

${\cal Q}_2\ne 0$ фигура не имеет оси симметрии (по сути, несимметричный волчок).

Главный октупольный момент, обычно обсуждаемый в литературе, пропорционален:

Д_{30} (θ, ф) \sim 5 потому что (θ)^{3} - 3 потому что (θ),

$Y_{30}(\theta,\phi)\sim 5\cos(\theta)^3-3\cos(\theta)\, ,$ но должен же быть еще хотя бы один(

\sim Y_{33} (θ, ϕ) - Y_{3, - 3} (θ, ϕ)

$\sim Y_{33}(\theta,\phi)-Y_{3,-3}(\theta,\phi)$ ?), чтобы исследовать распределение в

ϕ

$\phi$ направление.

Это следует искать в литературе по ядерной физике, поскольку высшие мультиполи раскрывают информацию о формах ядер, но стандартные учебники, которые у меня есть под рукой (Ринг и Шак, Крейн), не обсуждают $m\ne 0$ компоненты высших мультиполей. Октупольные моменты используются для проверки «грушевидности» фигуры, а поскольку груша аксиально-симметрична, может оказаться, что $m\ne 0$ компоненты слишком малы, чтобы беспокоиться.

(См. также этот пост для дополнительных комментариев).

Спасибо за это. Хотелось бы более подробного обсуждения общего $\ell$ случае (особенно потому, что процедура диагонализации далеко не так очевидна) и топологии многообразия.
Да... Я знаю, что ты имеешь в виду. Я никогда не видел обсуждения топологии этого (вероятно, вам нужно будет связать $SO(3)$ ), и это просто удобно, что $Q$ является симметричным тензором. Октуполь находится в симметричной части $(\ell=1)^{\otimes 3}$ но есть и другой $L=1$ тензор, и я не понимаю, как от него можно легко избавиться. Возможно, вы могли бы подогнать компоненты как симметричную часть $4\times 4$ матрица, но это НЕ ясно вообще. Я поспрашиваю, но если вы что-то найдете, пожалуйста, дайте мне знать.

Логан М · Answer 2

Аналогичная ситуация имеет место и в квантовой механике. Конечно, хорошо известно, что конечномерные неприводимые комплексные проективные представления $SO(3)$ параметризуются неотрицательным полуцелым числом $s=0,1/2,1,3/2,\ldots$ с размером $2s+1$ . Однако на этих представлениях проективное действие $SO(3)$ является транзитивным только в том случае, если $s=0$ или $s=1/2$ . Понимание орбит $SO(3)$ на этих представлениях, таким образом, представляет интерес.

Простое решение было найдено Майораной, широко известное как звездное представление Майораны. Общий ненулевой вектор спина $s$ представление можно записать как симметризованное тензорное произведение $2s$ ненулевые векторы в спин- $1/2$ представление. Это уникально вплоть до масштабирования векторов на коэффициенты, которые умножаются на $1$ и путем переупорядочения векторов. Переходя к проективным пространствам, общее состояние представляется набором $2n$ непомеченные (не обязательно различные) точки на сфере Римана. Действие $SO(3)$ здесь просто вращения сферы.

Таким образом, плотное подмножество проективного пространства $P^{2s}$ отображается в невырожденные конфигурации $2s$ немаркированные точки на сфере, которая является хорошо изученным примером конфигурационного пространства . Топология конфигурационных пространств хорошо известна математикам. Например, его фундаментальная группа является фактором группы кос на $2s$ пряди одним соотношением ( доказательство см. в этой статье ). Это конфигурационное пространство наследует $SO(3)$ действие, а пространство орбиты есть частное этого действия. Существуют также вырожденные орбиты, когда $2$ или более точек совпадают, и это не позволяет пространству орбит быть законным многообразием (однако оно является орбифолдом ) .

Чтобы связать это обратно с мультипольными распределениями, на самом деле нам вообще не нужно делать много работы. $Y_l^m$ сферические гармоники для $m=-l,\ldots,l$ охватывает копию $s=l$ представительство $SO(3)$ . Здесь мы рассматриваем реальное представление, а не сложное представление. Таким образом, мы должны ограничить пространство соответствующим реальным сечением, натянутым реальными сферическими гармониками. Кроме того, в данном случае это обычное представление, а не проективное представление. Это означает, что мы получаем $1$ степени свободы от перемасштабирования действительными числами (перемасштабирование комплексными числами запрещено). Наконец, частное по $SO(3)$ действие убивает 3 реальные степени свободы для достаточно больших $l$ такое, чтобы действие было точным (в этом случае уже $l=2$ достаточно). В частности, тогда размерность пространства орбит равна для $l=0,1,2,3,4,\ldots$ ,

г_{л} "=" 1, 1, 2, 4, 6, \dots .

$d_l=1,1,2,4,6,\ldots.$

Это интересно, но я чувствую, что это недостаточно подробно. Как и в отредактированном вопросе, если взять его в чистоте $Y_{\ell m}$ обеспечить не более $\ell +1$ неэквивалентные распределения, но ваше измерение, подсчитывающее $2\ell-2$ оставляет дефицит $\ell-3>0$ (для $\ell\geq 4$ ) независимые комбинации $Y_{\ell m}$ которые не эквивалентны по вращению ни одному из них. Как они выглядят?
@EmilioPisanty К сожалению, я действительно не знаю. На самом деле я не уверен в своем подсчете сейчас, после прочтения ваших правок и перечитывания моего ответа. Кажется, что та часть, где вы берете «реальный раздел», может оказаться более сложной, чем я предполагал. Случай сложных проективных представлений немного проще, но я не уверен, как извлечь из него данные для реальных представлений. Я буду продолжать думать об этом.

Сколько существует действительно разных мультиполярных распределений заряда?

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Ответы (2)

ZeroTheHero

Эмилио Писанти

ZeroTheHero

Логан М

Эмилио Писанти

Логан М

Как выглядят асферические гравитационные монополи?

Почему мультипольные моменты более высокого порядка не «стекаются», как монопольный и дипольный моменты?

Потенциал, создаваемый полой сферой с отверстием

Электростатическое поле на компактных поверхностях

Почему 3 дипольных члена в мультипольном расширении?

Уточнение мультипольного разложения для точечного заряда

Существует ли «более строгий» вывод электростатических граничных условий?

Проводники и теорема единственности

Интуитивное объяснение разницы в rrr-зависимости между диполем и монополем

Доказательство теоремы Эрншоу в трех измерениях очень тонко!