Элементы матрицы представления положения пропагатора для частицы в кольце

Вы не подумаете, как легко поставить этот вопрос, но он до смешного нетривиален. Как оказалось, совершенно невозможно найти матричные элементы позиционного базиса этого пропагатора.

До сих пор у вас все было хорошо, и идентификация

$$U\left( t_{2},t_{1}\right) =e^{\frac {-i} {\hbar }H\left( t_{2}-t_{1}\right) } =\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-i\left( t_{2}-t_{1}\right) E_{n}/\hbar}\lvert n\rangle\langle n\rvert$$ правильно. Наивно, путь ясен, потому что вы знаете собственные функции, $$⟨\theta|n⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{in\theta},$$ так что можно в принципе просто бутербродить $U(t_2,t_1)$между двумя кетами позиций, и все готово. Это дает вам $$\begin{align} \langle \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_1\rangle & = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-i\left( t_{2}-t_{1}\right) E_{n}/\hbar}\langle \theta_2 | n\rangle\langle n|\theta_1\rangle \\ & = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-i\left( t_{2}-t_{1}\right) E_{n}/\hbar}e^{in(\theta_1-\theta_2)}, \end{align}$$ и все выглядит нормально, не так ли? У вас есть только одна серия для расчета, и вы будете в пути. Кроме того, вы можете немного упростить ситуацию: вы можете установить $\theta=\theta_1-\theta_2$а также $\tau=t_2-t_1$для упрощения записи (т.е. пропагатор зависит только от этих различий, что приятно), и вы также можете вычислить энергии, $$E_n=\frac{\hbar^2}{2mR^2}\left(n+\frac{e}{h}\phi\right)^2,$$ чтобы $\frac{(t_2-t_1)E_n}{\hbar} = \frac{\hbar}{2mR^2}\left(n+\frac{e}{h}\phi\right)^2\tau =\kappa n^2\tau + \lambda n\phi\tau + \mu\phi^2\tau,$и все это делает серию красиво упрощенной: $$\begin{align} \langle \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_1\rangle & = \frac{e^{-i\mu\phi^2\tau}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-in^2\kappa \tau }e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)}, \end{align}$$ и это чисто и просто, как может быть. Что возможно могло пойти не так?

---

Как оказалось, этот ряд можно точно суммировать, и он представляет собой нечто, называемое якобиевым числом .$\vartheta_3$функцию , и вы можете прочитать все об этом в DLMF . Точнее, в данном случае связь сводится к

$$\begin{align} \langle \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_1\rangle & = \frac{1}{\sqrt{4\pi i \kappa\tau}} e^{-i\mu\phi^2\tau} e^{\frac{i (\lambda\phi\tau-\theta)^2}{4 \kappa\tau}} \vartheta_3\mathopen{}\left( \frac{\pi }{2 \kappa\tau}(\lambda\phi\tau-\theta), e^{i\frac{ \pi^2}{\kappa\tau}} \right)\mathclose{} , \tag{$\ast$} \end{align}$$ и похоже, что вы закончили: вы свели свою серию к какой-то специальной функции, и вы, очевидно, не можете ее сократить дальше, так что больше нечего делать.

Однако, к сожалению, вы еще не закончили. Если вы более внимательно посмотрите на тета-функцию, она обычно определяется как

$$\vartheta_3(z,q)=1+2\sum_{n=0}^\infty q^{n^2}\cos(2nz),$$ куда $q$а также $z$являются сложными параметрами, и мы хотим установить $q=e^{i \pi^2/\kappa\tau}$. Из определения видно, что ряд сходится, если $|q|<1$, и что оно будет расходиться, если $|q|>1$. Результат квантовой механики, который мы только что получили, балансирует на острие ножа, т.е. $|q|=1$: гарантий сходимости нет, но ряд является колебательным, так что, может быть, мы можем надеяться на некоторую условную сходимость, вызванную колебаниями?

Увы, и там радости нет. Полный ответ таков$\vartheta_3$имеет то, что называется естественной границей , что означает, что для любой точки$q_0$на единичной окружности (так$|q_0|=1$) и любой$z\in\mathbb C$, Лимит$\lim_{q\to q_0^-} \vartheta_3(z,q)$расходится в бесконечность. (я использую обозначение$q\to q_0^-$подразумевать, что$q$остается внутри диска во время лимита, просто для простоты.) Если вам нужны большие уродливые математические подробности, это потому, что ряд называется лакунарным рядом , о котором я спрашивал здесь, в MathOverflow, и здесь, в Maths SE; в частности, здесь теорема Фабри о разрыве подразумевает, что тета-функция имеет вокруг себя огненное кольцо, которое выглядит примерно так:

^{Код Mathematica через Import[" https://raw.githubusercontent.com/halirutan/Mathematica-SE-Tools/master/SETools/SEImageExpressionDecode.m "][" http://i.stack.imgur.com/wM9dN.png "]}

Проблема здесь в том, что наша$\vartheta_3$находится прямо над естественной границей: это аналитическая функция для$|q|<1$, но доказуемо невозможно обеспечить аналитическое продолжение за его круг сходимости (и это своего рода облом), и нет доказуемо никакого способа придать этому какой-либо смысл для$|q|=1$, именно там, где мы находимся.

---

Так, где это оставляет нас? Наш славный распространитель$(\ast)$выглядел достаточно аккуратно, но при ближайшем рассмотрении видно, что на самом деле это математическая чепуха. Что это значит и как это исправить?

Что ж, есть несколько способов, но оба они, по сути, означают, что вам разрешено только интерпретировать$\langle \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_2+\theta \rangle$как то, что называется обобщенной функцией , также известной как распределение : объект, вроде дельта-функции Дирака, который не имеет смысла сам по себе, а только при интеграции в продукты с другими функциями.

Есть два простых способа сделать это:

• Один - взять комплекс-$q$дело серьезно. Этого легко добиться, уделив время$\tau=\tau_0-i\delta$ненулевой мнимой составляющей, что приводит$|q|$до ниже$1$, и позволяет$⟨ \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_1 ⟩$имеет смысл.

  Если вы сделаете это, главное отметить, что обычно единственными физически значимыми величинами, где вы будете использовать пропагатор, являются матричные элементы формы$⟨f|U(t_2, t_1)|g⟩$для физических состояний$|f⟩$а также$|g⟩$. В конечном итоге они сводятся к интегралам вида

  $$\begin{align} ⟨f|U(t_2, t_1)|g⟩ & = \int_0^{2\pi} ⟨0|U(t_2, t_1)|\theta⟩ F(\theta)\mathrm d\theta \\&= \int_0^{2\pi} \frac{ e^{-i\mu\phi^2\tau} e^{\frac{i (\lambda\phi\tau-\theta)^2}{4 \kappa\tau}} }{\sqrt{4\pi i \kappa\tau}} \vartheta_3\mathopen{}\left( \frac{\pi }{2 \kappa\tau}(\lambda\phi\tau-\theta), e^{i\frac{ \pi^2}{\kappa\tau}} \right)\mathclose{} F(\theta)\mathrm d\theta , \end{align}$$ а здесь рецепт говорит, что вы должны читать эти интегралы как предел интегралов с ненулевым$\delta$как$\delta$стремится к нулю: $$\begin{align} ⟨f|U(t_2, t_1)|g⟩ & = \lim_{\delta\to 0} \int_0^{2\pi} \frac{ e^{-i\mu\phi^2\tau} e^{\frac{i (\lambda\phi\tau-\theta)^2}{4 \kappa\tau}} }{\sqrt{4\pi i \kappa\tau}} \vartheta_3\mathopen{}\left( \frac{\pi }{2 \kappa\tau}(\lambda\phi\tau-\theta), e^{i\pi^2/\kappa(\tau-i\delta)} \right)\mathclose{} F(\theta)\mathrm d\theta . \end{align}$$ Если вы сделаете это, произойдет следующее: для каждого$\delta$подынтегральная функция хорошо определена, аналитична и прекрасно себя ведет, и она дает вам совершенно нормальный результат для интеграла. Что еще более важно, эти результаты будут приближаться к пределу по мере того, как$\delta\to0$так долго как$F(\theta)$не совсем сумасшедший.

• Другой подход аналогичен, но он основан на серии, т.е. он требует, чтобы вы взяли нашу исходную серию перед оценкой, чтобы$\vartheta_3$,

  $$\begin{align} \langle \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_1\rangle & = \frac{e^{-i\mu\phi^2\tau}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-in^2\kappa \tau }e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)}, \end{align}$$ и рассмотрите это как указание на то, что вам нужно взять$|n|\to\infty$ограничение после того, как вы сделали любые соответствующие внутренние продукты, которые вам нужно взять. Например, для приведенного выше интеграла это означает понимание того, что $$\begin{align} \int_0^{2\pi} ⟨0|U(t_2, t_1)|\theta⟩ F(\theta)\mathrm d\theta &= \frac{e^{-i\mu\phi^2\tau}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-in^2\kappa \tau } \int_0^{2\pi} e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)} F(\theta)\mathrm d\theta , \end{align}$$ с рядом после интеграла. Если$F(\theta)$хорошо себя ведет, то его коэффициенты ряда Фурье будут уменьшаться с$|n|$достаточно быстро, и ряд снова сойдется (уф!) — как и должно быть для физически релевантного матричного элемента.

• В качестве альтернативы вы можете взять выражение ряда, которое у нас было ранее,

  $$\begin{align} \langle \theta_2 | U\left( t_{1}+\tau,t_{1}\right) | \theta_2+\theta\rangle & = \frac{e^{-i\mu\phi^2\tau}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-in^2\kappa \tau }e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)}, \end{align}$$ и просто рассматривайте это как тождество между дистрибутивами.

  Эта парадигма требует, чтобы вы видели каждое сопоставление$\theta\mapsto e^{-in^2\kappa \tau }e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)}$не как функция, а как распределение, которое вы затем складываете в виде ряда. Это довольно сильная вещь, так как она требует, чтобы вы перестали видеть$⟨\theta_2|n⟩⟨n|\theta_1⟩$как что-то, что имеет ценность, если вы придадите ему конкретную$\theta_1$,$\theta_2$а также$n$, но если вы сделаете это, вы получите некоторые хорошие математические преимущества.

  Точнее, каждое из распределений$\theta\stackrel{\mathrm{DS}}{\mapsto} e^{-in^2\kappa \tau }e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)}$является умеренным распределением (т. е. таким распределением, которое хорошо сочетается с преобразованиями Фурье и квантовой механикой; см. эти примечания , эти или эти для более подробной информации), и ряд ограничен сверху почленно гребенкой Дирака , которая также является умеренное распределение, и этого ( вероятно? ) достаточно, чтобы показать, что сумма ряда приводит к умеренному распределению.

  Таким образом, в этой парадигме вы получаете, что пропагатор существует, и он настолько хорош, насколько вам хотелось бы (в рамках того, что это распределение), и что он действительно является пределом ряда в правой части. , пока вы понимаете это в смысле распределения.

---

В этом-то и дело, и я думаю, что это настолько ясно, насколько я могу это сделать. Я закончу двумя ссылками, где я узнал об этом,

Л. Шульман. Интеграл по путям для спина. физ. 176 нет . 5, с. 1558. (1968) .

а также

ЛС Шульман. Методы и приложения интеграции путей (Довер, Нью-Йорк, 2005 г.), стр. 190-196.

и, наконец, цитата из Шульмана (действительно присутствующая в обеих ссылках), довольно точно описывающая здесь ситуацию:

Степень патологии, проявляемая этой функцией Грина, интересна, особенно ввиду элементарности примера.