Почему сравнивается Rcosa=mgRcos⁡a=mgR\cos{a} = mg при круговом движении, а не R=mgcosaR=mgcos⁡aR = mg\cos{a}?

Никогда, никогда не запоминайте слепо формулы.

Что вам нужно сделать, так это нарисовать диаграмму свободного тела вашей частицы, которая будет иметь наклонную нормальную силу и направленную вниз гравитационную силу, и вы знаете, что чистое ускорение направлено внутрь с величиной$v^{2}/r$. Вы можете либо повернуть свою систему отсчета так, чтобы нормальная сила была направлена ​​вверх, а гравитационная сила была направлена ​​под углом, либо решить два уравнения, исключив нормальную силу.

В любом случае вы получите ответ. Но текст вопроса предполагает, что можно просто запомнить формулу для ситуации. Никогда не делайте этого, посмотрите на ситуацию и выработайте ответ. Вы будете ошибаться так часто, как никогда, если попытаетесь решить проблемы так, как кажетесь, потому что все, что нужно, чтобы ошибиться, — это кто-то забавным образом обозначит угол или использует немного другое соглашение.

Совет @ JerrySchirmer в целом хорош и заслуживает внимания. Если вы на самом деле построите диаграммы свободного тела для частицы на наклонной плоскости и вашей частицы на конусе, вы заметите следующее важное различие:

• Частица, покоящаяся на склоне (или скользящая по склону), имеет вектор ускорения, параллельный поверхности.
• С другой стороны, ваша частица, движущаяся внутри конуса, не имеет вектора ускорения, параллельного поверхности: вместо этого она ускоряется горизонтально к центру круга.

В обоих случаях вы можете затем использовать тот факт, что частица не ускоряется в «другом» направлении (перпендикулярно плоскости для наклона и вертикально для конуса), чтобы записать соотношение между весом частицы и силой реакции. Но эти соответствующие уравнения имеют дело с составляющими этих сил в разных направлениях, и поэтому они оказываются разными друг от друга.

Во-первых, давайте посмотрим на разницу между двумя сценариями:

Случай 1: Ящик стоит на наклонной поверхности. В этом случае тип движения, которому мы пытаемся противодействовать, — это скольжение ящика по склону, т. е. действие силы тяжести на ящик. Пока не делите вес на параллельные и перпендикулярные составляющие. Изобразите нормальную силу и силу трения. Затем нарисуйте их сумму. Вы можете видеть, что их сумма вертикальна, противоположна направлению силы тяжести, действующей на коробку. Если эта сумма достаточно велика, она будет полностью противодействовать силе тяжести в ящике и предотвратит его скольжение вверх или вниз.

Случай 2: Автомобиль движется по дороге/гоночной трассе с уклоном без трения (коэффициент трения = 0). В этом случае типы движения, которым мы пытаемся противостоять:

1. Автомобиль скользит вниз по склону из-за действия силы тяжести на автомобиль.
2. Автомобиль съехал с кругового пути и съехал с дороги.

Опять же, нарисуйте силу веса/гравитации автомобиля, не разделяя ее на составляющие. Вертикальная сила (или вертикальная сумма сил) в противоположном направлении должна противодействовать этой силе. Что трогает машину (снаружи)? Только дорога под ним! Трения нет, поэтому вертикальная сила может быть только вертикальной (y) составляющей нормальной силы/силы, действующей на автомобиль со стороны дороги. Но нам по-прежнему нужна горизонтальная центростремительная сила, чтобы удерживать автомобиль на круговой траектории! Опять же, единственная вещь, которая может обеспечить эту горизонтальную силу, - это нормальная сила/сила дороги, действующая на автомобиль. Значит, нормальная сила должна иметь горизонтальную составляющую, обеспечивающую необходимую центростремительную силу.

Надеюсь, вы видите разницу между этими двумя сценариями.

Теперь выведем соответствующие формулы для каждого из этих сценариев.

Случай 1: Нарисуйте вектор, представляющий вес коробки. Разделите этот вектор на параллельные и перпендикулярные компоненты. Нормальная сила противодействует перпендикулярной составляющей, равной mg * cos(theta) , где theta — угол наклона. Трение противодействует параллельной составляющей, равной mg * sin(theta).

Случай 2: Нарисуйте вектор, представляющий вес автомобиля (а не его компонентов). В этом случае у нас нет трения, поэтому всему весу автомобиля (а не только перпендикулярной составляющей) должна противодействовать только вертикальная составляющая нормальной силы. Таким образом F_n,y = мг. Используя простую геометрию, мы можем найти, что угол между чистой нормальной силой (по определению, перпендикулярной дороге) и ее вертикальной составляющей равен тета, углу наклона. Таким образом, F_n = mg/cos(theta) .

Надеюсь, это поможет! Я тоже застрял на этом некоторое время, и я решил, что я запишу процесс мышления, через который я прошел, чтобы прояснить ситуацию для себя. :)