С какой скоростью движется комета, когда пересекает орбиту Земли?

1. Кометы на самом деле не пересекают орбиту Земли. Орбиты являются одномерными объектами, и вероятность их пересечения в трехмерном пространстве равна нулю. В дальнейшем я рассматриваю комету на расстоянии 1 а.е. от Солнца.

2. Какова максимальная скорость кометы, возвращающейся на расстояние 1 а.е. от Солнца? Это можно легко вычислить из орбитальной энергии.

   $$E = \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM_\odot}{r},\qquad\qquad(*)$$ сохраняющееся вдоль орбиты ($v$и$r$гелиоцентрическая скорость и расстояние). Для возвращающейся кометы,$E<0$и скорость не может превышать скорость убегания (что имеет место для$E=0$) $$v_{\rm escape}^2 = 2\frac{GM_\odot}{r}.$$ Скорость Земли можно определить из теоремы Вириала , согласно которой орбитальные средние значения кинетической и потенциальной энергий,$T=\frac{1}{2}v^2$и$W=-GM_\odot/r$, удовлетворить$2\langle T\rangle + \langle W\rangle=0.$Для (почти) круговой орбиты (например, Земли)$r$постоянна, и мы имеем$v^2_{\rm Earth} = GM_\odot/r.$Таким образом, при$r$=1AU $$v_{\rm escape} = \sqrt{2} v_{\rm Earth}$$ как уже указывал Питер Хорват. Невозвращающиеся кометы имеют локальную скорость, превышающую скорость убегания.

3. Может ли комета вблизи Земли иметь скорость, подобную орбитальной скорости Земли? . Предположим, что комета движется с той же скоростью, что и Земля, на$r$=1AU и разобраться с последствиями. Такая комета должна иметь ту же орбитальную энергию, что и Земля, и, поскольку

   $$E = -\frac{GM_\odot}{2a}\qquad\qquad(**)$$ с$a$большая полуось орбиты, также должна иметь$a=1AU$и тот же период обращения, что и у Земли, т.е. один год. Более того, апогелий кометы удовлетворяет $$r_{\rm apo}\le 2a = 2{\rm AU}.$$ Таких комет не существует, насколько я знаю . У большинства возвращающихся комет период намного больше, чем 1 год.

4. Какова типичная скорость возвращающейся кометы на расстоянии 1 а.е. от Солнца? Чтобы решить этот вопрос, параметризируем орбиту кометы ее периодом$P=2\pi\sqrt{a^3/GM_\odot}$. Из этого соотношения сразу получаем

   $$\frac{a_{\rm comet}}{\rm AU} = \left(\frac{P_{\rm comet}}{\rm yr}\right)^{2/3}.$$ Из уравнений ($*$) и ($**$), то мы можем найти $$v_{\rm comet}(r=1{\rm AU}) = \sqrt{2-\left(\frac{P_{\rm comet}}{\rm yr}\right)^{-2/3}}\,v_{\rm Earth}.$$ В пределах$P\to\infty$, это восстанавливает наш предыдущий результат$v_{\rm comet}\to v_{\rm escape}$. Для типичного периода$\sim$70yr, скорость кометы близка к этому числу.

5. Наконец, отмечу, что все это относится только к величине орбитальной скорости (скорости), но не к ее направлению. Кометы обычно находятся на орбитах с большим эксцентриситетом, и когда$r$=1 а.е., движутся совсем в другом направлении , чем Земля, даже если их скорость лишь немного больше. Итак, относительная скорость $|\boldsymbol{v}_{\rm comet}-\boldsymbol{v}_{\rm Earth}|$кометы относительно Земли может составлять от 10 до 70 км/с.

Есть относительно большие разновидности, но большинство из них составляет от 10 до 70 км/с.

Если комета является периодической кометой, это означает, что она должна иметь эллиптическую орбиту вокруг Солнца. Что дает верхний предел его скорости скорости убегания из Солнечной системы на орбиту Земли. То есть около 40 км/с.

Но эти 40 км/с находятся в системе отсчета Солнца. Земля движется в этой системе отсчета со скоростью около 30 км/с по почти круговой орбите.

Между скоростью убегания и средней скоростью круговой орбиты всегда существует$\sqrt{2}$связь. Это физический закон.

Теоретически можно было найти внесолнечные кометы (если бы их скорость была больше, порядка 70 км/с, это было бы явным признаком их отдаленного происхождения), но они не прилетают.