(1/2,0)(1/2,0)(1/2, 0) представление группы Лоренца SO(1,3)SO(1,3)SO(1,3)

Вот что происходит, когда физики пытаются заниматься теорией групп, но не утруждают себя введением правильных математических понятий.

1. Между ними нет изоморфизма .$\mathrm{SO}(1,3)$и$\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$, первое некомпактно, второе компактно. Подробнее об этой явно запутанной теме можно узнать в этом ответе . Кроме того, используя тензорный символ$\otimes$неверно, произведение является прямым, а не тензорным произведением групп, см. также этот вопрос .

2. Верно то, что существует эквивалентность конечномерных представлений алгебр$\mathfrak{so}(1,3)$и$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$, последний представляет собой компактную вещественную форму комплексификации первого. Действительно, карта между ними задается с помощью$N_i^\pm = \frac{1}{2}(J_i \pm\mathrm{i}K_i)$как основу последнего с точки зрения основы$J_i,K_i$бывшего. Это также не изоморфизм алгебр Ли, просто конечномерные представления этих алгебр эквивалентны.

3. Аргумент в части, которая вас смущает, должен звучать следующим образом: вам дается$(1/2,0)$представление$\rho : \mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^2)$. С$\rho$, как представление, является гомоморфизмом алгебры Ли, вы знаете, что$\rho(N_i^-) = 0$подразумевает$\rho(J_i) = \mathrm{i}\rho(K_i)$. Здесь все матрицы$N_i^-,J_i,K_i,0$матрицы — это двумерные матрицы на$\mathbb{C}^2$. Ты знаешь что$\rho(N_i^-) = 0$как двумерные матрицы из-за того, как$(s_1,s_2)$представление определено: возьмем отдельные представления$\rho^+ : \mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^{2s_1+1})$и$\rho^- : \mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^{2s_2+1})$и определить карту полного представления с помощью

   $$\rho : \mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^{2s_1+1}\otimes\mathbb{C}^{2s_2+1}), h\mapsto \rho^+(h)\otimes 1 + 1 \otimes \rho^-(h)$$ где я действительно имею в виду тензорное произведение векторных пространств с$\otimes$. Для$s_1 = 1/2,s_2 = 0$, это двумерное представление, где$\rho^-$тождественно равен нулю - и ноль - это двумерная нулевая матрица в матрицах два на два$\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^2)$.