2+12+12+1-мерная гравитация Эйнштейна топологична и нетривиальна только глобально

Начнем с более простого примера:$1+1$объемная гравитация. На самом деле это очень важный пример для понимания, потому что вся теория струн имеет место в этой структуре!$1+1$пространственная гравитация, как и в$2+1$размеры, нет локальных взаимодействий. Таким образом, это кажется довольно хорошей отправной точкой для разговора о такого рода вещах.

Если мы обозначим через$h$наш метрический тензор и$R$скалярная кривизна нашего многообразия$\mathcal{M}$, то мы можем написать

$$S=\frac{1}{2}\int_{\mathcal{M}}\mathrm{d}^2\sigma\,\sqrt{h}\,R,$$

где здесь$h$обозначает скаляр$\det{h^{\alpha\beta}}$и$\sigma$наш выбор координат на открытых участках$\mathcal{M}$. Есть красивая теорема, известная как теорема Гаусса-Бонне, которая утверждает, что этот интеграл можно решить без знания координат или метрики. В нем говорится, что

$$\int_{\mathcal{M}}\mathrm{d}^2\sigma\,\sqrt{h}\,R=4\pi\chi(\mathcal{M}),$$

куда$\chi(\mathcal{M})$— так называемая эйлерова характеристика многообразия. Это чисто топологическое выражение. Интуитивно он подсчитывает количество «дырок» в непрерывном многообразии (а именно,$\chi(\mathcal{M})=2-2g$, куда$g$число дырок в многообразии — например, у тора есть одна дырка, и поэтому$\chi=0$, а сфера не имеет отверстий и имеет$\chi=2$). Таким образом, поскольку само действие не зависит от локальных свойств многообразия, но зависит от глобальных (читай: топологических) свойств, мы говорим, что$1+1$размерная гравитация локально тривиальна, но глобально нетривиальна.

Путаница может быть вызвана вашим (понятным) мнением, что гравитация — это все о силах между объектами. Но в современном понимании гравитация идентична геометрии . Сюда входят как топологические утверждения, так и локальные! Мы привыкли говорить о гравитации как о чем-то локальном, потому что стандартное лечение ОТО является локальным. Но гравитация определяет топологию нашего многообразия так же, как и локальную геометрию!

Это все хорошо и хорошо, но какое нам дело? Ну, в$1+1$в размерной квантовой гравитации (читай: теория струн) топология играет важную роль! Это связано с тем, что обработка интеграла по путям у нас есть (в евклидовой сигнатуре),

$$\langle\mathcal{O}(\phi)\rangle=\sum_{\text{g=0}}^{\infty}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}h\,\mathcal{O}(\phi)\,e^{-S[\phi,h]},$$

куда$\phi$является заполнителем для всех полей, распространяющихся по многообразию,$\mathcal{O}$— некоторая операторная функция наших полей, а

$$S[\phi,h]=\int\mathrm{d}^2\sigma\sqrt{h}\left(-\frac{\lambda}{8\pi}R+\mathcal{L}(\phi,h)\right),$$

куда$\lambda$– эффективная константа связи и$\mathcal{L}(\phi,h)$есть лагранжиан, определяющий гравитационное взаимодействие полей$\phi$. Сумма свыше$g$указывает на то, что мы суммируем все возможные топологии теории, считая по роду. Используя теорему Гаусса-Бонне, мы можем сразу записать

$$\langle\mathcal{O}(\phi)\rangle=\sum_{g=0}^{\infty}e^{\lambda(1-g)}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{O}(\phi)\,e^{-S_g[\phi]}.$$

Предполагая$\lambda$положительно, это говорит нам о том, что мы можем по существу рассматривать значения математического ожидания как пертурбативные разложения в возможных топологиях нашего многообразия!

Хотя я действительно не говорил о$2+1$пространственной гравитации, основной вывод должен быть таким:

• В то время как$2+1$гравитация не имеет локальных степеней свободы, топология по-прежнему является геометрическим свойством пространственно-временного многообразия.$\mathcal{M}$, и, таким образом, по-прежнему важен и нетривиален.

• Глобальные нетривиальности могут играть важную роль в квантовой версии теории гравитации, с которой вы работаете.

Наконец, чтобы ответить на ваш вопрос одним предложением (как будто я недостаточно болтал):$2+1$размерная гравитация Эйнштейна называется «топологической», потому что все ее единственные возможные (вакуумные) нетривиальности носят топологический характер.

[Примечание: везде я предполагал вакуум или «чистую» гравитационную теорию. Эйнштейновская гравитация в$2+1$измерения с точечными массами на самом деле очень интересны и имеют ту же геометрию, что и конус. Это может привести к некоторым очень интересным и неинтуитивным результатам, самым известным из которых является машина времени Готта (стоит прочитать).]

Надеюсь, это помогло!

Ответ Боба Найтона очень подробный. Но я хочу добавить несколько замечаний. Вы можете попытаться доказать эту личность

$$R_{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{R}{D(D-1)} (g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}).$$

Тогда несложно показать, что для пространства-времени 1+1 тензор Эйнштейна$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$тождественно равен нулю . То есть вакуумное уравнение поля Эйнштейна выполняется тривиально, независимо от того, сколько содержания материи вы вкладываете. Это означает, что между гравитацией и материей нет связи.

Аналогичные последствия случаются и в случае 2+1. На самом деле люди считали, что гравитация 2+1 так же тривиальна, как и гравитация 1+1. Однако примерно в 1990 году было обнаружено, что при наличии отрицательной космологической постоянной гравитация 2+1 является богатым предметом (существуют решения для черных дыр BTZ и т. д.).