Можем ли мы наложить граничное условие на производную волновой функции с помощью физических предположений?

Question

Можем ли мы наложить граничное условие на производную волновой функции с помощью физических предположений?

Джо

Рассмотрим уравнение Шредингера для частицы в одном измерении, где у нас есть по крайней мере одна граница в системе (скажем, граница находится в точке $x=0$ и мы решаем для $x>0$ ). Иногда мы хотим наложить граничное условие, при котором волновая функция обращается в нуль (граничное условие Дирихле).

Мы можем косвенно наложить это граничное условие через физические предположения, используя бесконечный потенциал за пределами соответствующей области (как в модели «частица в коробке»):

В (Икс < 0) "=" \infty ⟹ ψ (Икс "=" 0) "=" 0

$V(x<0)=\infty ~~~~\Longrightarrow ~~~~\psi(x=0)=0$ Что, если мы хотим наложить граничное условие, при котором производная волновой функции обращается в нуль (граничное условие Неймана)?

? ⟹ {\frac{\partial ψ}{\partial Икс} |}_{Икс "=" 0} "=" 0

$? ~~~~\Longrightarrow ~~~~ \left. \frac{\partial \psi}{\partial x} \right|_{x=0} = 0$ Есть ли способ выбрать потенциал или, может быть, изменить что-то еще в гамильтониане, чтобы косвенно наложить это граничное условие?

PS Вопрос большого практического значения не имеет, скорее курьезный.

Ответы (2)

Можем ли мы наложить граничное условие на производную волновой функции с помощью физических предположений?

Альфред Центавр · Answer 1

Отзеркаливание $V(x)$ о $x = 0$ , т. е. установив $V(-x) = V(x)$ , волновую функцию можно считать четной или нечетной. Четное решение удовлетворяет граничному условию Неймана, поскольку производная четной функции нечетна и, следовательно, равна нулю при $x = 0$ .

Верно, что четные решения удовлетворяют желаемому граничному условию, но, к сожалению, всегда будут и нечетные решения, которые ему не удовлетворяют. Я ищу подход, который накладывает граничное условие для всех решений.
@ Джо, это невозможно, такой материал будет вести себя как идеальный отражатель с нулевой лондонской глубиной. Даже сверхпроводники не имеют нулевой лондонской глубины
@lurscher - Это интересный момент. Бесконечный потенциал, который используется для частицы в ящике, также невозможен. В действительности всегда будет некоторая глубина проникновения, и волновая функция полностью исчезнет только тогда, когда мы возьмем (нефизический) предел бесконечного потенциала. Аналогичным образом, нет никаких причин, по которым не может существовать какой-то параметр, по которому при взятии определенного (нефизического) предела материал превращается в идеальный отражатель, хотя в действительности всегда будет некоторая конечная лондонская длина.

Эмилио Писанти · Answer 2

На самом деле это не физическое условие, но когда кто-то занимается теорией R-матрицы для рассеяния (что, возможно, не для слабонервных), условие действительно возникает. Один ресурс, который я недавно видел, — это лекция Хьюго ван дер Харта (перейдите к слайду «Основные приложения»).

Это старый ответ, но он связан в другом месте, поэтому я не буду его менять. Связанный ресурс, вероятно, не то место, где вы хотите узнать о теории R-матрицы. Также неясно, какова роль состояния Неймана в этом развитии.

Можем ли мы наложить граничное условие на производную волновой функции с помощью физических предположений?

Джо

Ответы (2)

Альфред Центавр

Джо

люршер

Джо

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Как определить волновую функцию свободной частицы в сложной потенциальной функции?

2D уравнение Шредингера в полярных координатах - граничные условия в начале координат

Решения уравнения Шредингера в двумерных полярных координатах при нулевом потенциале

Интерпретация граничных условий в нестационарном уравнении Шредингера

Квантовая свободная частица в сферической координате

С какой скоростью волновая функция обращается в нуль на бесконечности?

Я пропустил трюк для решения проблемы 3D потенциальной скважины?

Бесконечные скважины и дельта-функции

Квантовая механика в электрическом поле

Почему мы анализируем проблему ступенчатого потенциала в квантовой механике с ненормируемыми решениями?