Интерпретация граничных условий в нестационарном уравнении Шредингера

В приведенных вами примерах граничные условия просто говорят: «не имеют бесконечной энергии» и «не могут быть ненормируемыми». На самом деле они не имеют физической интерпретации.

Более того, никакие граничные условия никогда не имеют такой интерпретации, как «начальное положение и скорость», потому что независимое от времени уравнение Шредингера описывает стационарные состояния. В этих состояниях не происходит эволюции во времени, поэтому начальное условие не имеет смысла!

Однако, если вы решаете не зависящее от времени уравнение Шредингера, используя потенциал$V(x)$что не уходит в бесконечность, как$x$уходит в бесконечность, тогда вы получаете решения$\psi(x)$которые не являются связанными состояниями: они будут иметь какое-то сложное поведение внутри потенциальной ямы, тогда они будут выглядеть как$e^{ikx}$на бесконечности. Наложение граничного условия «выглядеть как$e^{ipx}$на бесконечности" физически означает, что вы хотите рассмотреть рассеяние частиц с входящим импульсом$k = p$.

1. Выбор граничных условий фиксирует область определения и, следовательно, самосопряженное расширение вашего оператора Шредингера.

   $$-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V\:.$$ В свою очередь, этот выбор определяет спектр этого оператора, т. е. собственные значения$E$. (Здесь нет аналогии с начальными условиями.)

2. Никаких обстоятельств! Граничные условия не коррелируют с нормализацией, поскольку они просто определяют подпространство гильбертова пространства, область определения оператора выше, и если$\psi$также принадлежит этому подпространству$c\psi$делает для каждого$c\in \mathbb C$.

Насколько я знаю, а я только студент бакалавриата, граничные условия в уравнениях Шредингера существуют для того, чтобы содержать какое-то специальное подпространство гильбертова пространства системы или гильбертова пространства в целом.

Связанные состояния, например, образуют подпространство в гильбертовом пространстве. Граничным условием для этого является то, что$\psi\sim e^{-r}$в бесконечности, на каждый раз.

Состояния рассеяния — это волновые пакеты, которые при$t=\pm\infty$вести себя как свободный волновой пакет (заворачиваться вовремя$\frac{-\hbar ^2}{2m}\nabla ^2$вместо$H$).

Оказывается, что собственные энергетические состояния, решения не зависящих от времени уравнений Шредингера, всегда являются связанными состояниями. Это так, потому что плоские волны нельзя нормализовать, но вы всегда можете построить волновые пакеты плоских волн. Эти волновые пакеты являются состояниями рассеяния. Иногда вы можете рассмотреть состояние, подобное$|k\rangle$для плоской волны и для практических целей это всегда хорошо работает. Но иногда, например, при доказательстве теоремы Липпмана-Швингера , все становится немного сложнее, и полезно помнить об этих волновых пакетах.

Для не зависящего от времени уравнения Шредингера граничное условие может быть простым требованием нормализации волновых функций. Это особенность уравнения, не зависящего от времени. Физическое объяснение простое: ограниченные собственные состояния — это единственные состояния, которые не зависят от времени (получают только фазу) и могут быть нормализованы. Другое нормализуемое состояние, которое не ограничено, обязательно зависит от времени, потому что оно должно быть волновым пакетом, чтобы быть нормализуемым, а плоские волны - нет.

Квантование энергии в связанных состояниях происходит из граничных условий уравнения Шредингера. Граничное условие требует квантования некоторых чисел, таких как угловой момент и энергия. Энергия обусловлена ​​тем, что волновая функция ограничена в пространстве, а угловой момент обусловлен симметрией пространства.

Собственно, такова природа квантования физических величин. Тот факт, что частица или что-то локализовано в некоторой конечной области, достаточно узкой, интерференция по амплитудам вероятности важна, и для этой интерференции будут только некоторые стационарные состояния.