Амплитуда скорости и резонанс скорости в принудительном гармоническом осцилляторе

Резонанс скорости — это состояние, когда ваша система имеет самую высокую амплитуду скорости, а амплитуда скорости — это самая высокая скорость, которую ваша система может достичь во время колебаний.

В вынужденном гармоническом осцилляторе в установившемся режиме решение для смещения имеет вид$x = A\cos(\omega t - \psi)$где$\omega$- частота возбуждения, а - амплитуда колебаний.$\psi$и А имеют следующий вид:

$A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2\gamma^2}}$

$\psi = \tan^{-1}(\frac{\omega\gamma}{\omega_0^2 - \omega^2})$

Я использовал немного другое обозначение.$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$собственная частота осциллятора,$\gamma = 2b$(согласно вашим обозначениям) - скорость демпфирования и$F_0 = mf_0$(опять же согласно вашим обозначениям) является движущей силой.

Теперь, если бы вы должны были дифференцировать A с$\omega$и приравняв его к нулю, вы получите значение$\omega$который максимизирует A. Это известно как амплитудный резонанс и происходит при$\omega = (\omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{2})^{1/2}$

Далее, из простого дифференцирования имеем$v = -A\omega\sin(\omega t - \psi)$. амплитуда скорости$A\omega$. Для резонанса скоростей необходимо выбрать$\omega$такой, что$A\omega$максимизируется. Можно использовать тот же метод, что и раньше, чтобы максимизировать$V_0 = A\omega$и оказывается, что он максимален для$\omega = \omega_0$. Вы также обнаружите, что$\psi = \pi/2$. Это означает, что резонанс скоростей возникает, когда движущая сила приводит систему в движение с ее собственной частотой и имеет$pi/2$разность фаз с колебаниями.

Причина, по которой синусоидальный член (или косинусный член, как в вашем случае) не максимизируется, заключается в том, что скорость изменяется со временем. Даже когда амплитуда скорости максимальна, будет время ($t=\frac{\psi}{\omega}$) когда скорость$0$. Амплитуда просто обозначает максимальную скорость, которая может быть достигнута. Если бы вы управляли системой на частоте, отличной от$\omega_0$, максимальная скорость, которую ваша система может развить во время колебаний, будет меньше той, которую она может достичь, если двигаться со скоростью$\omega_0$

это ваше дифференциальное уравнение

$${\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}x \left( t \right) +{p}^{2}x \left( t \right) +2\,b{\frac {d}{dt}}x \left( t \right) ={\frac {f_{{0}}}{m}}$$

преобразуется в область Лапласа с начальными условиями$~x(0)=0~,\dot x(0)=0~$вы получаете

$$x(s)={\frac {f_{{0}}}{m\,s \left( {s}^{2}+{p}^{2}+2\,b\,s \right) }}$$

скорость$v=\dot x\,\Rightarrow\,v(s)=s\,x(s)$таким образом

$$v(s)={\frac {f_{{0}}}{m\, \left( {s}^{2}+{p}^{2}+2\,b\,s \right) }}$$

заменять$s\mapsto i\,\omega$и получить амплитуду

$$|v(i\,\omega)|={\frac {f_{{0}}}{m\sqrt { \left( {\omega}^{2}-{p}^{2} \right) ^{2}+4\, {b}^{2}{\omega}^{2}}}}$$

вы получаете резонанс в

$$\left( {\omega}^{2}-{p}^{2} \right) ^{2}+4\,{b}^{2}{\omega}^{2}=0\\ \Rightarrow\\ \omega_r=\sqrt {{p}^{2}-2\,{b}^{2}\,\pm\,2\sqrt {-{p}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}}}$$