Ответы, опубликованные в настоящее время, игнорируют несколько важных деталей, поэтому я собираюсь дать свой собственный. Я могу перефразировать некоторые вещи, которые уже были сказаны. Чтобы все было абсолютно ясно, я пишу здесь полный вывод вынужденно-затухающего осциллятора с акцентом на роль$Q$фактор.

Основные уравнения

Рассмотрим уравнение движения вынужденного затухающего гармонического осциллятора:

$$\ddot{\phi}(t)+2\beta\dot{\phi}(t) + \omega_0^2 \phi(t) = j(t) \,.$$

Здесь$\beta$— коэффициент трения (для случая, когда сила трения пропорциональна скорости$\dot{\phi}$),$j$является внешней вынуждающей функцией, и$\omega_0$незатухающая частота системы.

Определим преобразование Фурье$\tilde{\phi}(\omega)$по уравнению

$$\phi(t) = \frac{1}{2\pi}\int \tilde{\phi}(\omega)e^{-i \omega t}\,d\omega\,.$$

Включение преобразования Фурье в уравнение движения дает

$$\phi(\omega) = \frac{\tilde{j}(\omega)}{-\omega^2 - 2i\beta \omega + \omega_0^2} = \frac{\tilde{j}(\omega)}{(\omega-\omega_+)(\omega - \omega_-)}$$

куда$\tilde{j}$является преобразованием Фурье$j$а также

$$\omega_{\pm}\equiv -i\beta \pm \omega_0' \qquad \omega_0'\equiv \omega_0\sqrt{1-\left( \frac{\beta}{\omega_0} \right)^2}\,.$$

Мой$\omega_0'$это то, что ты назвал$\omega_r$если мы установим$\gamma / \sqrt{2} = \beta$. Обратите внимание, что для затухания света, т.е. случай$\beta \ll \omega_0$, мы получаем$\omega_0' \approx \omega_0$.

Для того, чтобы понять значение фактора качества$Q$мы исследуем эти уравнения для двух случаев.

Свободное колебание

Сначала рассмотрим случай, когда функция принуждения представляет собой просто мгновенный удар по$t=0$. Это должно вызвать колебания системы, но с уменьшающейся амплитудой по мере потери энергии на трение. Математически мы обозначаем мгновенный удар как$j(t) = A \delta(t)$. Это дает$\tilde{j}(\omega) = A$. Мы нашли$\phi(t)$методом обратного преобразования Фурье

$$\begin{align} \phi(t) &= \frac{1}{2\pi} \int \tilde{\phi}(\omega)e^{-i\omega t} \, d\omega \\ &= \frac{1}{2\pi} \int \frac{A e^{-i \omega t}}{(\omega-\omega_-)(\omega-\omega_+)} \, d\omega \\ &= \frac{A}{\omega_0'} e^{-\beta t} \sin(\omega_0' t) \, . \qquad(*) \end{align}$$ Давайте разберемся с этим результатом. В $t=0$система находится на $\phi=0$. Это имеет смысл, потому что мы ударяем его по $t=0$но еще не успела никуда уйти. Со временем он колеблется с частотой $\omega_0'$но с уменьшением амплитуды. Обратите внимание, что частота колебаний в этом случае не является незатухающей частотой $\omega_0$; это $\omega_0'$который немного смещен из-за трения. Большее трение вызывает больший сдвиг частоты свободных колебаний. Конечно, как вы можете видеть, большее трение также приводит к более быстрому уменьшению амплитуды, что имеет смысл.

Теперь, как насчет$Q$? Предполагать$\phi$представляет положение массы на пружине. В этом случае потенциальная энергия системы пропорциональна$\phi^2$. Точно так же, если$\phi$представляет ток в цепи LRC, тогда индуктивная энергия пропорциональна$\phi^2$. Дважды за колебание вся энергия системы переходит в потенциальную (или индуктивную) энергию. Из уравнения$(*)$эта энергия

$$E(t) = E(0) e^{-2\beta t} \,.$$ Теперь мы можем легко найти $Q$

$$Q \equiv \frac{\text{energy stored}}{\text{energy lost per radian}} = \frac{E(t)}{-\frac{dE}{dt} \frac{dt}{d\,\text{radians}}} = \frac{E(0)e^{-2\beta t}}{2\beta E(0) e^{-2\beta t}/\omega_0'} = \frac{\omega_0'}{2\beta} \,.$$

Это почти то же самое, что и ваше выражение$\left( \omega_0^2 - \gamma^2 / 2 \right)^{1/2} / \gamma$за исключением того, что я думаю , что вы испортили фактор$\sqrt{2}$где-то. Так или иначе, дело в том, что ваша "более точная" формула для$Q$значение на самом деле просто$Q$получится, если рассмотреть случай свободных колебаний затухающей системы .

Стационарная управляемая система

Теперь рассмотрим случай, когда система подвергается постоянному воздействию вида

$$j(t) = A \cos(\Omega t) \, .$$

затем

$$\tilde{j}(\omega) = \frac{(2\pi)A}{2}(\delta(\omega - \Omega) + \delta(\omega + \Omega))\,.$$ Подставляя это в интеграл и запуская, мы получаем

$$\phi(t) = \text{Re} \left[ e^{-i\Omega t} \frac{-A}{\Omega^2 + 2i\beta \Omega - \omega_0^2}\right]\, .$$

Давайте рассмотрим случай, когда мы движемся на собственной резонансной частоте, т.е.$\Omega = \omega_0$. В этом случае мы получаем

$$\phi(t) = \frac{A}{2 \beta \omega_0}\sin(\omega_0 t)\,.$$

Мощность, развиваемая движущей силой, равна$\text{force}\times\text{velocity}^{[a]}$:

$$P(t) = j(t)\dot{\phi}(t) = \frac{A^2}{2\beta}\cos(\omega_0 t)^2 = \frac{A^2}{4 \beta}[1 + \cos(2\omega_0 t)] \, .$$ Обратите внимание, что $P(t)$всегда положительный . На самом деле это определение резонанса: резонансная частота — это та частота, при которой работа, совершаемая приводом, всегда положительна. В электрической цепи это то же самое, что сказать, что резонансная частота — это та, где импеданс затухающего генератора является чисто реальным. Ни одна другая частота не обладает этим свойством, поэтому мы только что показали, что $\omega_0$- резонансная частота демпфированной системы $^{[b]}$. Поскольку мы находимся в стационарном состоянии, эта работа также должна быть именно той работой, которую система теряет из-за демпфирования. Таким образом, мы можем вычислить среднюю потерю мощности за один цикл:

$$\langle P_{\text{loss}}\rangle = \frac{\omega_0}{2\pi} \int_{0}^{2\pi / \omega_0} P(t)\,dt = \frac{A^2}{4\beta}\,.$$

Большой. Теперь давайте посчитаем накопленную энергию. По аналогии со случаем груза на пружине мы знаем, что максимальная потенциальная энергия равна$^{[c]}$

$$U = \frac{1}{2} \phi_{\text{max}}^2 \omega_0^2 = (1/2)A^2 / 4\beta^2$$

и опять же, поскольку мы находимся в устойчивом состоянии, это просто общая накопленная энергия. Следовательно$Q$значение

$$Q \equiv \frac{\text{energy stored}}{\text{energy loss per radian}}= \frac{U}{\langle P_{\text{loss}}\rangle / \omega_0}= \frac{(1/2)A^2 / 4\beta^2}{A^2 / 4 \beta \omega_0} = \frac{\omega_0}{2 \beta} \, .$$

Это выражение почти точно такое же, как и для свободных колебаний, за исключением того, что теперь мы имеем$\omega_0$вместо$\omega_0'$. Обратите внимание, что теперь мы ответили на ваш вопрос № 3, поскольку мы показали, что для установившегося режима управления$Q$стоимость включает$\omega_0$, а не более сложное выражение$\omega_0'$.

Ответ на исходные вопросы

Мы видели, что можем получить два очень немного разных выражения для$Q$в зависимости от того, рассматриваем ли мы свободные колебания или движение в установившемся режиме. На самом деле, когда люди говорят о$Q$на самом деле они говорят о устойчивом вождении; чтобы не запутаться, другое выражение действительно не должно называться "$Q$". Тем не менее, для системы, где$Q\gg1$оба выражения дают очень близкие числа, поэтому различие в основном академическое.

1. Предполагает ли энергия, рассеиваемая за цикл, что амплитуда постоянна от одного цикла к другому?

Да, потому что, когда вы говорите о$Q$вы неявно говорите о стационарном случае вождения, в котором все одинаково от цикла к циклу.

2. Всегда ли он рассчитывается на резонансной частоте?

По определению да. $Q$определяется как запасенная энергия, деленная на потери энергии на радиан в случае стационарного привода с приводом на собственной частоте колебаний$\omega_0$.

3. Если ответ на вопрос 2 утвердительный, можете ли вы объяснить, почему для принудительной системы колебаний с коэффициентом затухания$\gamma$и собственная частота$\omega_0$фактор качества$Q=\omega_0/\gamma$а не какое-то более сложное выражение, включающее реальную резонансную частоту

Это было подробно продемонстрировано в приведенном выше обсуждении/расчете.

Заметки:

$[a]$: На самом деле из-за того, как здесь установлены количества, если$\phi$представляет собой смещение массы на пружине, то то, что я называю «мощностью», на самом деле является «мощностью, деленной на массу».

$[b]$: См. этот вопрос SO , который я разместил специально, чтобы помочь сгенерировать этот ответ.

$[c]$: Опять же, если вы просмотрите и сравните случай с массой на пружине, вы увидите, что я упустил фактор массы.

Назовем это уравнение А:

Q=2$\pi$(Накопленная энергия)/(рассеиваемая энергия за цикл)

а этот Б:

$Q=\omega_o/\gamma$

Уравнение А можно применить к свободному движению (это то, что я видел раньше), но WP применяет его к стационарной реакции на движущую силу.

Предполагает ли энергия, рассеиваемая за цикл, что амплитуда постоянна от одного цикла к другому?

Да, потому что WP применяет его к установившемуся отклику, а в установившемся режиме амплитуда постоянна. Если вы примените его к свободному движению, то амплитуда действительно изменится, и уравнение А будет приближением с высокой добротностью.

Всегда ли он рассчитывается на резонансной частоте.

Нет, это не зависит от частоты возбуждения. Мощность, рассеиваемая за счет демпфирования, равна$bv^2$, куда$b=m\gamma$. Если движение стационарное, то оно синусоидальное, а усредненная за цикл мощность равна$(1/2)bv_{max}^2$, поэтому работа, совершаемая за один цикл, равна$W=(1/2)bv_{max}^2\cdot 2\pi/\omega$. Запасенная энергия$E=(1/2)mv_{max}^2$. Разделение этих дает$2\pi E/W=m\omega/b=Q$, и это не зависит от$\omega$.

Итак, если мы предположим, что демпфирующая сила пропорциональна скорости, то А (применительно к стационарной реакции) точно эквивалентна В.

Мы представляем$Q$коэффициент для того, чтобы описать, сколько энергии осциллятора теряется из-за трения в одном цикле колебаний. Для того, чтобы это имело хоть какое-то практическое значение,$Q$factor должен быть постоянной (т.е. не зависящей от времени) функцией параметров генератора. Он должен быть в равной степени применим к затухающим колебаниям, а также к установившимся возбужденным колебаниям. В последнем случае энергия, а также потери энергии осциллятора будут дополнительно зависеть от частоты внешней силы$\omega$. С$\omega$не является параметром системы, ему нет места в$Q$фактор. Поэтому для вынужденных колебаний вычисляем$Q$коэффициент резонансной частоты$\omega = \omega_0$, куда$\omega_0$- (незатухающая) частота генератора.

Сначала вычислим$Q$коэффициент затухающего генератора. Здесь энергия осциллятора$E(t)$зависит от времени (осциллирует с затухающей амплитудой$\sim e^{-t/\tau}$), поэтому естественное определение$Q$фактор был бы

$$Q = 2\pi \frac{E(t)}{E(t) - E(t+T)} = \omega_d \frac{E(t)}{\langle P \rangle (t)}.$$ Здесь, $T = 2\pi/\omega_d$это период и $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - (1/2\tau)^2}$– частота затухающих колебаний. $\langle P \rangle (t)$средняя потеря мощности из-за трения. Теперь из того, что $E(t+T) = E(t) e^{-\frac{2\pi}{\omega_d \tau}}$, у нас есть для $Q$фактор $$Q = \frac{2\pi}{1 - e^{-\frac{2\pi}{\omega_d \tau}}} \approx \omega_d \tau + \pi + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega_d \tau}\right)\approx \omega_d \tau,$$ где приближение выполняется для очень слабого затухания. Следует отметить, что альтернативное определение $$Q = \omega_d \frac{E(t)}{- \frac{d E}{dt}} = \omega_d \frac{E(t)}{P(t)}$$ не приводит к независимому от времени $Q$фактор.

Для стационарного генератора мы сразу имеем

$$Q = \omega_0 \frac{E(t)}{\langle P \rangle (t)} = \omega_0 \frac{E}{\langle P \rangle} = \omega_0 \tau,$$ где мы использовали тот факт, что $P = \frac{2}{\tau} E_\text{kin}$а также $\langle E_\text{kin} \rangle = \frac{1}{2} E$для генератора, колеблющегося на своей собственной частоте.