Как физики используют решения уравнения Янга-Бакстера?

Ах. Наконец-то тема, о которой я что-то знаю!

В физике есть много мест, где всплывает уравнение YB. Я могу думать о двух на данный момент.

а. Точно решаемые решетчатые модели

б. Квантовые вычисления (КК)

Это второе приложение, которое я нахожу самым захватывающим, поэтому я сосредоточусь на нем.

Канонической ссылкой (IMHO) на связь между уравнением YB и QC является замечательная статья Lomonaco и Kauffmann (LK04) http://arxiv.org/abs/quant-ph/0401090

В топологических квантовых вычислениях надежда состоит в том, чтобы иметь возможность выполнять унитарные операции над кубитами, перемещая их друг вокруг друга. Типичная арена — двумерный электронный газ, где наши кубиты — квазичастицы системы. В 2D, когда мы обмениваем два объекта, мы получаем более богатую группу симметрии, чем в 3D, где мы получаем группу перестановок, собственные значения которой$\pm 1$соответствуют случаю бозонов и фермионов соответственно. Однако в 2D эта группа симметрии расширена до группы кос: можно поменять местами два объекта, перемещая их так, чтобы их мировые линии «переплетались» друг с другом. Это переплетение не может быть устранено путем деформации траекторий, потому что у нас нет третьего измерения, которое мы могли бы использовать.

Короче говоря, YBE можно изобразить схематически как взаимосвязь между тремя частицами при обмене (см. рис. 1 на стр. 8 приведенной выше ссылки). Затем LK04 показывает, что решения YBE являются унитарными матрицами, которые универсальны для квантовых вычислений. Во многом так же, как любая классическая двоичная схема может быть построена из вентилей И-НЕ, любая квантовая схема может быть построена из набора универсальных квантовых вентилей.

В математической физике вы используете решения уравнения Янга Бакстера во многих контекстах. В частности, в квантовой интегрируемости решения уравнения Янга Бакстера используются для получения коммутационных соотношений из алгебры Янга Бакстера.$R_{12}(u,v)T^{1}(u)T^{2}(v) = T^{2}(v)T^{1}(u)R_{12}(u,v)$может дополнительно включать граничные термины. $R$в контексте статистической механики (двумерные решетки) связано с весами Больцмана,$T's$связаны с матрицей монодромии, которые являются произведениями локальных$R$для фундаментальных моделей (фундаментальные модели: в которых нестрогие операторы выражаются через$R$) эта первая часть представляет собой квантовый метод обратного рассеяния, вторую часть мы хотим диагонализовать.$[\tau(u),\tau(v)] = 0$($\tau$является передаточной матрицей), таким образом, мы используем первую часть для получения состояний уравнений Бете и Бете, это алгебраический анзац Бете (здесь важно существование чего-то, называемого псевдовакуумом), наиболее фундаментальным является Ян Бакстер уравнение это суть. Вы также можете иметь модели квантового интегрируемого поля 1+1 и применять такие методы. После алгебраического анзаца Бете вы должны вычислить внутренний продукт и корреляционные функции, это та часть, которая имеет больше открытых проблем. Другой метод, отличный от алгебраического анзаца Бете, - это SOV-Склянин, который представляет собой метод, применяемый как к квантовому, так и к классическому случаю, он возникает из разделения переменных в классической механике. Склянин расширяет его, делая метод наиболее общим.

Что касается экспериментов, экспериментальные методы захвата и охлаждения атомов в 1D обеспечили реализацию точно решенных моделей в лаборатории.

Бозе-газ Либа-Линигера:

Т. Киношита и др. Science 2004, PRL 2005, Nature 2006; А. ван Амеронген и др. PRL2008; Т. Китагава и др. PRL 2010; Дж. Армихо и др., PRL, 2010 г.

Газ Супер Тонкс-Жирардо:

Э. Халлер и др. Наука, 2009 г.

Вырожденный ферми-газ со спином 1/2:

Ю. Ляо и др. Nature 2010; С. Джохим и др., Наука 2011, PRL 2012: Детерминированная подготовка системы с несколькими фермионами; 2 фермиона в одномерной гармонической ловушке

Двухкомпонентный спинорный бозе-газ: J. van Druten et al. arXiv: 1010.4545

Закалка - очень актуальная тема в этом исследовании после 26 июля, эта тема позволит проводить дальнейшие эксперименты (я этого не знаю). http://arxiv.org/abs/1407.7167

В классическом контексте решения классического уравнения Янга Бакстера служат для вычисления алгебр Пуассона.$\lbrace T^{1}(u),T^{2}(v)\rbrace = [r_{12}(u,v),T^{1}(u)T^{2}(v)]$(есть и другие в зависимости от того, какая у вас модель и граничные условия) отсюда у вас есть связь с гамильтоновым формализмом.