Как работает преобразование Лежандра H→LH→LH\to L в неканонических координатах?

Позволять$H(z)$быть гамильтонианом и$\omega_{ij}$симплектическая форма на фазовом пространстве и$\omega^{ij}$его инверсия$\omega_{ij} \omega^{jk} = \delta^k_i$. Мы знаем, что тогда уравнения Гамильтона задаются как

$$\dot{z}^i = \omega^{ij} \partial_j H$$ В канонических координатах $z\to p_i,q^j$у нас просто есть $$\omega^{ij} = \begin{pmatrix} 0 & -\mathbf{1} \\ \mathbf{1} & 0 \end{pmatrix}$$ и, таким образом, обычная координатная форма уравнений Гамильтона и преобразование Лежандра $$L = p_i \frac{\partial H}{\partial p_i} - H(p,q)$$ Однако существуют системы (одним из примеров может быть гамильтониан для волчка), в которых $\omega^{ij}$не может быть глобально приведен в каноническую форму, указанную выше. Как тогда выполнить преобразование Лежандра?

Другими словами: существует ли закрытая общая формула для лагранжиана?$L$с точки зрения$H$, общие фазовые координаты$z$, и симплектическая форма$\omega_{ij}$?

---

Чтобы добавить некоторый контекст: на самом деле я хочу написать действие в фазовом пространстве.

$$S[z(t)] = \int p_i \dot{q}^i - H(p,q) \mathrm{d}t \,,$$ где $\dot{q}^i$не дается в терминах переменных фазового пространства. Затем это полезно в вариационном подходе к симплектической структуре, как обсуждалось, например, Marsden et al. (1986) .