Неевклидово фазовое пространство?

В классической механике канонические уравнения движения можно представить в виде скобок Пуассона :

{ д я , Ф ( д , п ) } "=" ∂ Ф ∂ п я , { п я , Ф ( д , п ) } "=" − ∂ Ф ∂ д я ,   а н г { ЧАС , Ф ( д , п ) } "=" − г ⁡ Ф г ⁡ т .

Это принимается в том смысле, что д я генерирует переводы в − п я направление, п я в д я направление и ЧАС (гамильтониан) во времени. Есть ли что-нибудь, что можно получить, добавив символ Кристоффеля , подобный связи, к каноническим уравнениям (т.е. перевод градиента фазового пространства в ковариантную производную )?

Конкретно, скажем В Дж находится в векторном пространстве, касательном к многообразию фазового пространства (в некоторой комбинации д и п направлениях или в совершенно несвязанном векторном пространстве). Можно ли построить осмысленное фазовое пространство, определив скобки Пуассона как:

{ д я , В Дж ( д , п ) } "=" ∂ В Дж ∂ п я + [ Г п ] я к Дж я к В к , { п я , В Дж ( д , п ) } "=" − ∂ В Дж ∂ д я − [ Г д ] я к Дж я к В к ,   а н г { ЧАС , В Дж ( д , п ) } "=" − г ⁡ В Дж г ⁡ т − [ Г т ] я к Дж я к В к ,
или аналогичная конструкция?

Всегда ли результирующее искривленное фазовое пространство выражается через некоторое преобразование координат и гамильтониана, используя обычные канонические уравнения движения?

у вас не может быть канонического преобразования координат, изменяющего ваши скобки Пуассона (это в значительной степени определение канонического). В любом случае, вы можете захотеть погуглитьgeomeotry of poisson brackets

Ответы (1)

  1. Учитывая симплектическое многообразие ( М , ю ) , естественно задуматься о том, что такое касательное расслоение

    (1) ∇ : Г ( Т М ) × Г ( Т М ) → Г ( Т М )
    выбирать?

  2. В общем, естественно выбирать ∇ быть без кручения

    (2) Т   "="   0 ,
    и совместимый
    (3) ∇ ю   "="   0
    с симплектическим 2 -форма ю .

  3. Можно показать (через разбиение единицы), что совместимое соединение без кручения ∇ существует на паракомпактном многообразии, ср. например , этот пост Phys.SE. Имейте в виду, что такое соединение ∇ далеко не уникален.

  4. Тройка ( М , ю , ∇ ) называется федосовским многообразием и является геометрическим входом для федосовского звездного произведения ⋆ в деформационном квантовании .

  5. Квантование по Федосову можно использовать для определения ковариантных производных и эволюции во времени для тензорных полей, ср. исх. 1-2. Классическая конструкция может быть извлечена в ℏ → 0 предел.

  6. В особых случаях симплектическое многообразие ( М , ю ) снабжен совместимой метрикой г , ср. Кэлерово многообразие . В таких случаях показатель г однозначно выделяет связь Леви-Чивита . См. также этот пост на Phys.SE.

  7. Наконец, отметим, что если симплектическое многообразие М "=" Т * Вопрос является кокасательным расслоением, снабженным тавтологической симплектической структурой (см., например , этот пост Phys.SE), а базовое многообразие Вопрос наделен связностью, это также приводит к интересным возможностям, например к суперскобке Пуассона, ср. Ссылка 3.

Использованная литература:

  1. Б. В. Федосов, Простая геометрическая конструкция деформационного квантования, Дифференц. геом. 40 (1994) 213.

  2. Б.В. Федосов, Деформационное квантование и теория индекса, Математические вопросы, Vol. 9, Академия Ферлаг, Берлин, 1996.

  3. Б. ДеВитт, Супермногообразия, Кембриджский унив. Пресс, 1992; Раздел 6.7.

Неевклидово фазовое пространство?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v