Симплектическая форма на ковариантном фазовом пространстве

Именно в этом суть подхода «ковариантного фазового пространства», разработанного Аштекаром, Вальдом, Виттеном и др. См., например, Lee & Wald (1990) . Его можно применять к теориям частиц или полей и, в частности, к калибровочным теориям. Вкратце конструкция выглядит следующим образом:

1- Рассмотрим пространство решений $\cal S$определяется как набор решений вашей теории с лагранжианом$\cal L[\phi]$и, возможно, ограничено некоторыми граничными условиями.

2- Вариация$\cal L$дает уравнения движения и член полной производной

$$\delta \cal L=E[\phi]\delta \phi+\partial_\mu \theta^\mu(\delta \phi)$$

3- Касательный вектор в точке$\phi\in \cal S$представляет собой возмущение поля$\delta \phi$который решает линеаризованные уравнения поля. Можно также определить дифференциальную форму$d_V\phi$как внешняя производная на$\cal S$.

4- Построить каноническую структуру на$\cal S$, возьмем произвольную поверхность Коши$\Sigma$в пространстве-времени и определить (пред)симплектическую форму следующим образом

$$\Omega(\delta_1 \phi,\delta_2 \phi)=\int_\Sigma d\Sigma \,n_\mu \delta_1 \theta^\mu(\delta_2 \phi)- (1\leftrightarrow 2)$$ где$n$нормаль к гиперповерхности и$d\Sigma$обозначает объемную форму. Эквивалентно можно написать $$\Omega=\int_\Sigma d_V \theta$$ которая является формой 2 относительно внешней производной$d_V$на$\cal S$. Вышеупомянутые 2 формы имеют вырождения в случае калибровочных теорий. В этом случае следует частное$\cal S$группой$\cal G_0$чисто калибровочных преобразований, т. е. всех калибровочных преобразований, действующих локально в объеме. Большие калибровочные преобразования (действующие нетривиально на границе сохраняются и составляют симметрии фазового пространства).

5- Формализм является ковариантным, так как не требуется явная декомпозиция по полям и выбор$\Sigma$является произвольным. Независимость$\Omega$от$\Sigma$является результатом того, что$\partial_\mu \omega^\mu=0$используя уравнения движения. Пара$(\cal S, \Omega)$называется ковариантным фазовым пространством .

6. Анализ (асимптотических) симметрий и законов сохранения очень прост в этом формализме. Построить генератор преобразования симметрии$\delta_\xi \phi$, просто возьми

$$\delta H_\xi\equiv \Omega (\delta \phi,\delta_\xi\phi).$$ Заряд$H_\xi$существует, если$\delta H_\xi$интегрируема, что эквивалентно условию$\cal{L}_{\delta_\xi}\Omega=0$, т.е. что$\delta_\xi\phi$является симплектической симметрией (каноническим преобразованием). Скобка Пуассона между двумя зарядами $$\{H_\xi,H_\zeta\}=\Omega (\delta_\zeta\phi,\delta\xi\phi)$$

Искомая ковариантная скобка Пуассона для лагранжевых теорий известна как скобка Пайерлса.

$$\{ F,G \}~:=~\iint_{[t_i,t_f]^2}\!dt~dt^{\prime}~\sum_{I,K=1}^{2n} \frac{\delta F }{\delta z^I(t)}~G^{IK}_{\rm ret}(t,t^{\prime})~\frac{\delta G }{\delta z^K(t^{\prime})} - (F\leftrightarrow G),$$ где $G^{IK}_{\rm ret}(t,t^{\prime})$является запаздывающей функцией Грина , см., например, различные учебники Брайса С. ДеВитта, а на этот и этот ответы Phys.SE отвечает пользователь Урс Шрайбер.

Хорошо, я немного покопался и вот что нашел (на основе ответа Qmechanic, но немного более общего характера).

Определить фазовое пространство вне оболочки как просто пространство всех конфигураций поля, не обязательно удовлетворяющее уравнениям движения. Классические наблюдаемые вне оболочки, по аналогии, являются функциями над фазовым пространством вне оболочки. Определим скобку Пайерлса между двумя такими функционалами как

$$\left\{ F[x], G[x] \right\} = \int dt' \int dt \, \frac{\delta F}{\delta x(t')} G_F(t', t) \frac{\delta G}{\delta x(t)},$$

где$G_F(t', t)$— пропагатор Фейнмана (запаздывающий минус опережающий). Важный момент, которого я не понимал раньше, заключается в том, что$G_F$на самом деле является функционалом, который зависит от$x(t)$. И это не описывает распространение всего поля$x$, просто линейное распространение его бесконечно малой флуктуации. Таким образом, весьма нетривиальная зависимость от$x$закодировано в скобке Пайерлса.

Я все еще не понимаю одну вещь. Полученная структура фазового пространства вне оболочки со скобкой Пайерлса не эквивалентна обычному фазовому пространству (и на самом деле бесконечно больше). Как мне вывести эту алгебру на фазовое пространство?